ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4. Доказать, что если {x
n
} и{y
n
} ограничены, то для любых α, β ∈ R после-
довательность {αx
n
+ βy
n
} ограничена.
5. Пусть последовательность {x
n
} ограничена, {y
n
} не ограничена. Дока-
зать, что последовательность {x
n
+ y
n
} не ограничена.
6. Доказать, что если последовательность {x
n
} возрастает, а {y
n
} убывает,
то последовательность {x
n
− y
n
} возрастает.
7. Доказать, что если последовательности {x
n
} и {y
n
} положительны и воз-
растают, то последовательность {x
n
y
n
} возрастает.
8. Доказать, что последовательность {x
n
} не является монотонной:
a) x
n
=
sin
nπ
2
n
, b) x
n
= n + (−1)
n
.
9. Доказать, ограниченность последовательности {x
n
}:
a) x
n
=
n
2
n
, b) x
n
=
n
X
1
1
k (k + 1)
,
c) x
n
=
n
X
1
1
k
2
, d) x
n
= lg (3n + 2) − lg (n + 1).
10. Доказать неограниченность последовательности {x
n
}:
a) x
n
=
√
n
4
+ n
3
+ 1 −
√
n
4
− n
3
+ 1, b) x
n
=
r
n
2
+ (−1)
n
√
n
3
− n.
2.3 Сходящиеся последовательности
Напомним основные определения и результаты (см. [3, раздел 2.1])
Определение 8. Число a называется пределом последовательности
{x
n
}, если для любого ε > 0 существует такой номер N = N(ε), что для
всех n > N выполняется неравенство |x
n
− a| < ε.
Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный пре-
дел, в противном случае последовательность называется расходящейся.
При вычислении предела последовательности часто используются следую-
щие два результата.
Теорема 1 (теорема о трех последовательностях). Пусть последова-
тельности {x
n
}, {y
n
}, {z
n
} удовлетворяют условиям:
1) x
n
≤ y
n
≤ z
n
, ∀n > n
0
,
24
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- …
- следующая ›
- последняя »
