Введение в анализ. Предел последовательности - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

c) Выпишем элементы последовательностей {x
n
} и {y
k
}:
x
n
: 2, 4, 6, 8, . . . , 2n, (2n + 2) . . . ,
y
k
: 4, 2, 8, 6, . . . , 2k + (−1)
k+1
2, 2(k + 1) + (−1)
k+2
2 . . . .
Члены последовательности {y
k
} являются членами последовательности {x
n
},
но нарушен порядок их следования, Следовательно, последовательность {y
k
}
не является подпоследовательностью последовательности {x
n
}.
d) Имеем: y
k
= 2
(−1)
k
k
, k ∈ N. Если k = 2j − 1, j ∈ N , то
y
2j−1
= 2·
1
2
2j−1
/∈ N, ∀j > 1, но x
n
= 2n ∈ N, ∀n ∈ N.
Следовательно, элементы y
k
с нечетными номерами не являются элемента-
ми последовательности {x
n
}, а значит последовательность {y
k
} не является
подпоследовательностью последовательности {x
n
}.
Задания для самостоятельной работы
1. Доказать, что данная последовательность {x
n
} монотонна, начиная с
некоторого номера:
a) x
n
=
3n + 4
n + 2
, b) x
n
=
100n
n
2
+ 16
,
c) x
n
= n
3
− 6n
2
, d) x
n
=
√
3n − 2,
e) x
n
=
√
n + 2 −
√
n.
2. Доказать ограниченность последовательности {x
n
}, если
a) x
n
=
n + 1
3n − 1
, b) x
n
=
(−1)
n
n + 15
√
n
2
+ 10
,
c) x
n
=
2n
2
+ 1
n
2
− 1
arctg
√
n, d) x
n
=
2n + sin
nπ
10
n
,
e) x
n
=
2
n
+ (−1)
n
3
n
+ 1
, f) x
n
=
√
n
2
+ 1 − n.
3. Доказать, чтo последовательность {x
n
} является неограниченной, если
a) x
n
= n
2
, b) x
n
=
n
2
+ 15
n − 1
,
c) x
n
=
1 + 2 + ··· + n
n + 1
, d) x
n
=
3
n
− 1
2
n
+ 1
.
23

Страницы