Введение в анализ. Предел последовательности - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Определение 5. Числовая последовательность {x
n
} называется воз-
растающей (убывающей), начиная с номера n
0
, если для любого n ≥ n
0
выполняется неравенство x
n
< x
n+1
(x
n
> x
n+1
). Если n
0
= 1, то последо-
вательность называется возрастающей (убывающей).
Определение 6. Числовая последовательность {x
n
} называется неу-
бывающей (невозрастающей), начиная с номера n
0
, если для любого n ≥
n
0
выполняется неравенство x
n
≤ x
n+1
(x
n
≥ x
n+1
). Если n
0
= 1, то после-
довательность называется неубывающей (невозрастающей).
Неубывающие, невозрастающие, убывающие и возрастающие последова-
тельности называются монотонными.
Пример 21. Доказать, что последовательность {x
n
} возрастает:
a) x
n
=
√
3n − 2, b) x
n
=
√
n
2
+ n − n, c) x
n
=
2
n
n
.
a) Так как 0 < 3n −2 < 3n + 1, ∀n ∈ N, то x
n
< x
n+1
, и последовательность
a) является возрастающей.
b) Заметим, что для всех n ∈ N
x
n
=
√
n
2
+ n − n =
n
√
n
2
+ n + n
=
1
s
1 +
1
n
+ 1
;
x
n+1
=
1
v
u
u
t
1 +
1
(n + 1)
+ 1
.
Так как
1
n
>
1
n + 1
, то
s
1 +
1
n
+ 1 >
v
u
u
t
1 +
1
n + 1
+ 1 > 0, ∀n ∈ N. Поэтому
x
n
< x
n+1
, ∀n ∈ N, то есть последовательность {x
n
} возрастает.
c) Легко видеть, что для всех n ∈ N
x
n+1
x
n
=
2
n+1
n
(n + 1)2
n
=
2n
n + 1
=
n + n
n + 1
≥ 1 .
Поскольку x
n
=
2
n
n
> 0, ∀n ∈ N, то x
n+1
≥ x
n
, ∀n ∈ N, причем x
n+1
= x
n
только при n = 1. Следовательно, данная последовательность возрастает,
начиная с номера n
0
= 2.
Пример 22. Доказать, что последовательность x
n
=
n + 1
2n − 1
, является убы-
вающей.
21

Страницы