Введение в анализ. Предел последовательности - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

Так как x
n
=
n + 1
2n − 1
=
1
2
2n − 1 + 3
2n − 1
=
1
2
+
3
2
1
2n − 1
, то для всех n ∈ N,
x
n
− x
n+1
=
3
2
1
2n − 1
−
1
2n + 1
!
=
3
2
2
(2n − 1) (2n + 1)
> 0.
Итак, x
n
> x
n+1
, ∀n ∈ N и последовательность {x
n
} убывает.
2.2 Подпоследовательности
Определение 7. Пусть заданы последовательность {x
n
} и возрас-
тающая последовательность {n
k
} натуральных чисел. Тогда последо-
вательность {y
k
}, где y
k
= x
n
k
, ∀k ∈ N, называется подпоследователь-
ностью последовательности {x
n
} и обозначается {x
n
k
}.
Согласно определению 7, члены подпоследовательности {x
n
k
} являются
элементами исходной последовательности {x
n
}, причем порядок их следова-
ния такой же, как и в последовательности {x
n
} (см. [3, раздел 2.1.7]).
Пример 23. Выписать подпоследовательность {x
n
k
}, если
a) x
n
= 2n, n
k
= 2k, k ∈ N ; b) x
n
= sin
nπ
2
, n
k
= 2k, k ∈ N .
a) Так как, x
n
= 2n, а n
k
= 2k, то x
n
k
= x
2k
= 2·2k = 4k.
b) Аналогично, так как x
n
= sin
nπ
2
, n
k
= 2k, то
x
n
k
= x
2k
= sin
2kπ
2
= sin kπ = 0, ∀k ∈ N.
Пример 24. Является ли последовательность {y
k
} подпоследовательно-
стью последовательности {x
n
}, если x
n
= 2n и для всех k ∈ N
a) y
k
= 2
k
, b) y
k
= k
2
, c) y
k
= 2k + (−1)
k+1
2, d) y
k
= 2
(−1)
k
k
.
a) Элементы y
k
= 2
k
можно представить в виде
y
k
= 2 · 2
k−1
= 2 n
k
, где n
k
= 2
k−1
, k ∈ N.
Поскольку n
k
∈ N, ∀k ∈ N, и последовательность {n
k
} является возраста-
ющей (n
k+1
/n
k
= 2 > 1, ∀k ∈ N), то последовательность {y
k
} является
подпоследовательностью последовательности {x
n
}.
b) Так как x
n
= 2n — четные натуральные числа (n ∈ N), а y
k
= k
2
не
являются четными, если k = 2j − 1, j ∈ N, то последовательность {y
k
} не
является подпоследовательностью последовательности {x
n
}.
22

Страницы