Введение в анализ. Предел последовательности - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

a) Поскольку | sin x |≤ 1, ∀x ∈ R, то −2 ≤ sin n − 1 ≤ 0, ∀n ∈ N, то есть
x
n
∈ [−2, 0], ∀n ∈ N, что доказывает ограниченность последовательности.
b) Заметим, что 2n − 1 ≥ 1, ∀n ∈ N. Поэтому x
n
=
n + 1
2n − 1
> 0, ∀n ∈ N, то
есть последовательность ограничена снизу. Далее, для всех n ∈ N
x
n
=
1
2
2n + 2
2n − 1
=
1
2
1 +
3
2n − 1
!
≤
1
2
(1 + 3) = 2,
поскольку
1
2n − 1
≤ 1. Это доказывает ограниченность сверху, а, значит, и
ограниченность, рассматриваемой последовательности.
Пример 20. Доказать неограниченность последовательности {x
n
}:
a) x
n
= n + sin n, b) x
n
= n sin
πn
2
!
, n ∈ N.
a) Так как sin n > −1,∀n ∈ N, то x
n
= n + sin n > n − 1 ≥ 0, ∀n ∈ N,
то есть последовательность ограничена снизу. Пусть теперь M — некоторое
положительное число. Тогда для любого n ≥ [M] + 2
x
n
> n − 1 ≥ [M] + 2 −1 = [M] + 1 > M.
Итак, для любого M > 0 существуют элементы x
n
последовательности (на-
чиная с номера n
M
= [M] + 2), которые лежат правее M. Поэтому последо-
вательность {x
n
} неограничена сверху, а, значит, неограничена.
b) Прежде всего, выпишем первые элементы x
n
= n sin
πn
2
!
, n ∈ N:
1, 0, −3, 0, 5, 0, −7, 0, ...
Заметим, что x
4k−3
= 4k − 3, k ∈ N. Поэтому
x
4k−3
= 3(k − 1) + k ≥ k, ∀k ∈ N.
Пусть M — некоторое положительное число. Для всех k>[M]+1 имеем:
x
4k−3
≥ k > [M] + 1 > M
Последнее означает неограниченность сверху последовательности {x
n
}. Да-
лее, x
4k−1
= −(4k − 1) = −3k − (k − 1) ≤ −3k < −k, ∀k ∈ N. Поэтому,
x
4k−1
< −k < −([M] + 1) < −M, ∀k > [M] + 1, то есть рассматриваемая
последовательность не ограничена снизу. Итак, последовательность {x
n
} не
ограничена сверху и снизу.
Перед следующим примером напомним два определения.
20

Страницы