Введение в анализ. Предел последовательности - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЮФУ | Ростов-на-Дону

Составители: 

Рубрика: 

7. С помощью теоремы о трех последовательностях найти предел последо-
вательности {x
n
}, если
a) x
n
=
arctg n
n
, b) x
n
=
n
√
2 + sin n,
c) x
n
=
2n + 1
2
n
(n + 1)
, d) x
n
=
n
√
3n
2
− 1.
2.4 Бесконечно большие последовательности
Числовая последовательность {x
n
} называется бесконечно большой, если
для любого ε > 0 найдется такой номер N = N(ε), что все элементы x
n
с
номерами n > N удовлетворяют неравенству |x
n
| > ε. В этом случае пишут
lim x
n
= ∞ и говорят, что последовательность {x
n
} имеет бесконечный пре-
дел. Если последовательность является бесконечно большой и все члены ее,
начиная с некоторого, положительны (отрицательны), то последовательность
называется положительной (отрицательной) бесконечно большой и пишут
lim x
n
= +∞ (соответственно, lim x
n
= −∞). Свойства бесконечно больших
последовательностей рассмотрены в [3, раздел 2.1.5].
Пример 28. С помощью определения доказать, что
a) lim((−1)
n
n + 1) = ∞, b) lim(
3
√
n + (−1)
n
) = +∞, c) lim(sin n −n) = −∞.
Для решения поставленной задачи зафиксируем ε > 0 и найдем все n, для
которых |x
n
| > ε, и найдем номер N = N(ε) ∈ N такой, что |x
n
| > ε, ∀n >
N. Часто для упрощения решения неравенства |x
n
| > ε подбирают такую
последовательность {α
n
}, что |x
n
| ≥ α
n
, ∀n > n
0
, и неравенство α
n
> ε легко
разрешается относительно n. Выбирая натуральное число N
0
= N
0
(ε) > n
0
такое, что α
n
≥ ε, ∀n > N
0
, получаем неравенство
|x
n
| ≥ α
n
> ε, ∀n > N
0
,
что завершает доказательство в силу произвольности выбора ε > 0.
a) Так как |x
n
| = |(−1)
n
n + 1| ≥ |(−1)
n
n|−1 = n −1, ∀n ≥ 1, и n −1 > ε ⇔
n > ε + 1, то, положив N = [ε + 1], получим, что для всех n > N
|x
n
| ≥ n − 1 > ε.
Следовательно, последовательность является бесконечно большой, причем
знак ее указать нельзя (все элементы с четными номерами положительны, а
с нечетными — отрицательны).
29

Страницы