Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

47
методом Рунге - Кутта третьего порядка , надо показать , что реализован в самом
деле метод третьего порядка точности . Для этого достаточно выполнить ряд
тестовых примеров – в задачах Коши, в которых решение является полиномом
нулевой, первой, второй и третьей степени, должно получаться точное решение , а
если решение есть полином более высокой степени, то численное решение имеет
погрешность . Если в соответствии с заданием автоматический выбор шага
интегрирования реализуется методом удвоения и деления шага пополам, то
необходимо подобрать примеры с заранее известной погрешностью и
специальным образом задавать точность с тем, чтобы решение получалось в
заранее предсказанных точках и т.п.
Построение тестовых примеров не должно требовать большой
вычислительной работы. Однако их составление невозможно без глубокого
понимания программируемого метода .
Ниже приведен ряд замечаний по разработке иллюстрирующих тестовых
примеров. Внимательное их изучение даже в случае, если они непосредственно не
относятся к индивидуальному заданию студента , знакомят читающего с
основными принципами и идеями , лежащими в основе построения тестовых
примеров для решения начальных задач (1)-(2) методами типа Рунге - Кутта .
Замечание о начальной точке интегрирования.
Ниже при составлении тестовых примеров для простоты выкладок
полагаем 0
0
=
x .
Замечание о составлении дифференциального уравнения с заранее известным
решением.
Допустим, мы хотим составить уравнение , решение которого есть
3
)( xxy =
. Учитывая, что
2
3)( xxy =
′
, запишем несколько примеров
таких уравнений:
2
3xy =
′
, )3(
2
−−=
′
xxyy , )3(
3
xxyxy +−=
′
.
Замечание о составлении дифференциальной задачи, которая при численном
решении дает заранее известную погрешность метода на шаге .
Пример 1. 
                                       47
методом Рунге-Кутта третьего порядка, надо показать, что реализован в самом
деле метод третьего порядка точности. Для этого достаточно выполнить ряд
тестовых примеров – в задачах Коши, в которых решение является полиномом
нулевой, первой, второй и третьей степени, должно получаться точное решение, а
если решение есть полином более высокой степени, то численное решение имеет
погрешность. Если в соответствии с заданием автоматический выбор шага
интегрирования реализуется методом удвоения и деления шага пополам, то
необходимо   подобрать         примеры         с    заранее       известной   погрешностью   и
специальным образом задавать точность с тем, чтобы решение получалось в
заранее предсказанных точках и т.п.
     Построение       тестовых         примеров          не     должно    требовать   большой
вычислительной работы. Однако их составление невозможно без глубокого
понимания программируемого метода.
     Ниже приведен ряд замечаний по разработке иллюстрирующих тестовых
примеров. Внимательное их изучение даже в случае, если они непосредственно не
относятся к индивидуальному заданию студента, знакомят читающего с
основными принципами и идеями, лежащими в основе построения тестовых
примеров для решения начальных задач (1)-(2) методами типа Рунге-Кутта.
Замечание о начальной точке интегрирования.
              Ниже при составлении тестовых примеров для простоты выкладок
              полагаем x0 =0 .
Замечание о составлении дифференциального уравнения с заранее известным
              решением.
              Допустим, мы хотим составить уравнение, решение которого есть
              y ( x) = x 3 . Учитывая, что y′( x) =3 x 2 , запишем несколько примеров

              таких уравнений:
              y ′ =3x 2 , y ′ = y −x 2 ( x −3) , y ′ =x( y −x 3 +3x ) .

Замечание о составлении дифференциальной задачи, которая при численном
              решении дает заранее известную погрешность метода на шаге.
              Пример 1.

Страницы