Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 48 стр.

                        48
Пусть программируемый метод Рунге-Кутта второго порядка (22),
погрешность на шаге которого имеет вид (23). Предположим, что
правая часть уравнения не зависит от y . Тогда в выражении для
погрешности                   (23)   остается   одно   первое       слагаемое.        Если
потребовать, чтобы вторая производная f xx′′ равнялась константе, то
очевидно, что на любом шаге интегрирования погрешность метода
будет постоянна. Здесь в качестве тестового примера удобно взять
задачу y ′ =12 x 2 , y (0) =0 , поскольку в этом случае погрешность на
шаге (23) имеет наиболее простой вид ϕ 2 ≡h 3 .
Пример 2.
Можно подбирать тестовые примеры с наперед известными
погрешностями метода на шаге, не используя выражения для
погрешности, как это сделано в примере 1.
Пусть программируемый метод четвертого порядка (33). Опять
положим, что правая часть исходного уравнения не зависит от y .
Тогда согласно (7) непосредственно вычислим погрешность
                            h�                �     h�       �    2 �                �
ϕ 4 (h) = y (x 0 +h ) −y 0 − �� f (x0 ) +3 f � x 0 + � +3 f � x0 + h � + f (x0 +h )�� , (156)
                            8�                  �   3�         �  3 �                  �

раскладывая точное решение y(x0 +h ) и функцию f в ряд Тейлора в
окрестности точки x0 :
                        h5
ϕ 4 (h) =−f       IV
                              .                                                       (157)
                       9 ⋅ 6!
Очевидно, что в качестве простейшего тестового примера удобно
взять функцию f с постоянной четвертой производной, например,
    f   IV
             =9 ⋅ 6! . Тогда погрешность на шаге ϕ 4 (h) =−h 5 , а искомая

демонстрационная задача Коши имеет вид
�          9 ⋅ 6! 4
� y′ =           x ,
�           24                                                                        (158)
  �� y (0) =0.