Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 1. Корзунина В.В - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

45
2:
2
:
1)1(
1
:
∗=
=
>+
=
Rmacheps
кц
R
R
нц
Rпока
R
(149)
Замечание 6. Для того , чтобы избежать неприятностей, о которых говорилось в
Замечании 5, можно ставить ограничения на число делений
первоначального шага интегрирования. Например, если ограничить
количество делений двадцатью , то допускается максимальное
уменьшение шага в
6
10
раз.
Замечание 7. Выбор оптимального самого первого шага интегрирования –
трудная задача, если решать ее в полном объеме . Самый простой
выход – положить первоначальный шаг равным некоторой части
отрезка интегрирования, надеясь на то , что метод удвоения и
деления шага пополам довольно быстро выйдет на
удовлетворительное значение длины шага .
5.2. Метод выбора максимальной для заданной точности длины шага
Напомним, что минимальные вычислительные затраты при решении задачи
Коши (1),(2) методами типа Рунге - Кутта имеют место тогда , когда на всех шагах
интегрирования локальная погрешность метода постоянна и равна некоторому
ε
.
Пусть решение в точке
n
x вычислено и идет проверка удовлетворительности шага
h для определения следующей точки интегрирования hxx
nn
+
=
+ 1
. С этой целью
считается погрешность
1+n
ε
(главная часть погрешности , см. соотношение (84)), с
которой определяется значение
1+n
y
в точке
hx
n
+
, и сравнивается с
ε
. Если
(
)
εεψ >=
+
+
1
1
,
n
s
nn
hyx
, (150)
то значение шага
h
признается неудовлетворительным и выбирается новый шаг
интегрирования
ε
h из соотношения
hh
α
ε
=
, (151) 
                                                        45
                    R :=1
                    пока (1 +R) >1
                       нц
                                                                                  (149)
                          R :=R
                                2
                       кц
                    macheps :=R ∗2

Замечание 6. Для того, чтобы избежать неприятностей, о которых говорилось в
                   Замечании 5, можно ставить ограничения на число делений
                   первоначального шага интегрирования. Например, если ограничить
                   количество делений двадцатью, то допускается максимальное
                   уменьшение шага в 10 6 раз.
Замечание 7. Выбор оптимального самого первого шага интегрирования –
                   трудная задача, если решать ее в полном объеме. Самый простой
                   выход – положить первоначальный шаг равным некоторой части
                   отрезка интегрирования, надеясь на то, что метод удвоения и
                   деления            шага    пополам        довольно   быстро   выйдет   на
                   удовлетворительное значение длины шага.


         5.2. Метод выбора максимальной для заданной точности длины шага
      Напомним, что минимальные вычислительные затраты при решении задачи
Коши (1),(2) методами типа Рунге-Кутта имеют место тогда, когда на всех шагах
интегрирования локальная погрешность метода постоянна и равна некоторому ε .
Пусть решение в точке xn вычислено и идет проверка удовлетворительности шага
h для определения следующей точки интегрирования x n +1 =x n +h . С этой целью

считается погрешность εn +1 (главная часть погрешности, см. соотношение (84)), с
которой определяется значение y n+1 в точке xn +h , и сравнивается с ε . Если
      ψ (x n , y n ) h s +1 = εn +1 >ε ,                                          (150)
то значение шага h признается неудовлетворительным и выбирается новый шаг
интегрирования hε из соотношения
                                   hε =αh ,                                       (151)

Страницы