Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений методами типа Рунге-Кутта. Часть 2. Корзунина В.В - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
номер элементарного отрезка сетки с постоянным шагом
)/()( rMAB
−
,
x – координата начала отрезка, коэффициенты аппроксимирующего
решение интерполяционного полинома степени
)1(
−
r
на
соответствующем элементарном отрезке.
Метод (см . раздел 3.2 и Замечание о коэффициентах интерполяционных
полиномов откорректированного решения ).
1. Решается система r линейных алгебраических уравнений для
определения коэффициентов γ
1
, γ
2
, … , γ
r
.
2. Методом Эйлера (9) r раз решается исходная задача Коши с
r
различными шагами
rkkM
k
,...,2,1),/(1
=
=
τ
.
3. Каждому численному решению
k
u
τ
на сетке
k
τ
ω
ставится в
соответствие непрерывное приближенное решение
)( tu
k
τ
. Для
этого для каждого элементарного отрезка
[
]
1
,
+ii
tt
сетки
k
τ
выбираются дополнительно к узлам
1
,
+ii
tt
ещё
2
−
r
ближайших узла,
и по значениям в этих
r
узлах определяется полином степени r-1
вида,
1
)(
1
)(
1
)(
0
...
−
−
+++
r
ik
r
ikik
tataa
, который принимается за
непрерывное приближенное решение
)( tu
k
τ
на отрезке
[
]
1
,
+ii
tt
сетки
k
τ
ω
.
4. С использованием непрерывных интерполянтов
)
(tu
k
τ
искомое
приближенное решение U
H
(t) представляется как линейная
комбинация
)
(tu
k
τ
в виде (67). Таким образом , построенное решение
U
H
(t) - это непрерывная функция , которая на каждом элементарном
отрезке самой мелкой сетки
k
τ
ω
есть полином степени r-1,
коэффициенты которого определяются отдельно для каждого
элементарного отрезка самой мелкой сетки
k
τ
ω
Замечания по программированию .
1. Сохранять в машинной памяти вычисленные значения решения
разрешается только в узлах сетки с самым крупным шагом
MAB /)(
−
.
2. Целесообразно п .2, п.3 и п .4 Метода выполнять параллельно, то есть ,
проинтегрировав методом Эйлера очередную задачу Коши и строя
непрерывное решение, сразу аддитивно добавлять соответствующие
слагаемые в линейные комбинации интерполяционных 
                                       12
     номер элементарного отрезка сетки       с  постоянным      шагом
      (B −A) /(rM) ,
     x – координата начала отрезка, коэффициенты аппроксимирующего
     решение       интерполяционного полинома  степени   ( r −1)   на
     соответствующем элементарном отрезке.
Метод (см. раздел 3.2 и Замечание о коэффициентах интерполяционных
     полиномов откорректированного решения).
      1. Решается система r линейных алгебраических уравнений для
         определения коэффициентов γ1, γ2, … , γr.
      2. Методом Эйлера (9) r раз решается исходная задача Коши с r
         различными шагами τk =1 /(kM), k =1,2,...,r .

      3. Каждому численному решению          uτk    на сетке     ωτk ставится в
         соответствие непрерывное приближенное решение                u τk (t ) .   Для

         этого для каждого элементарного отрезка             [ti ,ti+1]   сетки     ωτk
         выбираются дополнительно к узлам     ti ,ti+1 ещё r−2 ближайших узла,
         и по значениям в этих r узлах определяется полином степени                 r-1
                  (ik)  (ik)        (ik) r −1
         вида, a0 +a1 t +...+ar −1 t , который принимается                            за
         непрерывное приближенное решение          uτk (t) на отрезке [t i , t i +1 ]
         сетки   ωτ k   .

      4. С использованием непрерывных интерполянтов                uτk (t)   искомое
                                        H
         приближенное решение U (t) представляется как линейная
                     τk
         комбинация u (t) в виде (67). Таким образом, построенное решение
         UH(t) - это непрерывная функция, которая на каждом элементарном
         отрезке самой мелкой сетки         ωτk    есть полином степени             r-1,
         коэффициенты       которого   определяются    отдельно       для каждого
         элементарного отрезка самой мелкой сетки     ωτk
Замечания по программированию.
      1. Сохранять в машинной памяти вычисленные значения решения
         разрешается только в узлах сетки с самым крупным шагом (B −A) / M .
      2. Целесообразно п.2, п.3 и п.4 Метода выполнять параллельно, то есть,
         проинтегрировав методом Эйлера очередную задачу Коши и строя
         непрерывное решение, сразу аддитивно добавлять соответствующие
         слагаемые     в    линейные      комбинации     интерполяционных

Страницы