ВУЗ:
Составители:
50
7.2. Примеры решения задач
Пример 1. Плотность вероятности распределения частиц по плоскости заисит
от расстояния до точки О как f(r) =A(1-r
2
/a
2
), м
-2
, если r a, и f(r) = 0, если r a.
Здесь a задано, А – некоторая неизвестная постоянная. Найти: а) наиболее вероятное
расстояние r
вер
частиц от точки О; б) постоянную А; в) среднее значение <r> частиц
от точки О.
Дано::
Решение
f(r) =A(1-r
2
/a
2
), если r a
f(r) =0, если r > a
Вероятность того, что частица находится в
малой окрестности некоторой точки В плоскости,
расположенной на расстоянии r от точки О, опре-
деляется формулой
dW = f(r)dS,
а) r
вер
- ?
б) A - ?
в) <r> - ?
где dS – площадь указанной окрестности точки В (см. рис. 6).
Отсюда следует, что вероятность нахожде-
ния частицы в узком кольце, ограниченном ок-
ружностями с радиусами r и r + dr и с общим
центром в точке О (см. рис. 6), равна
dW = f(r)2rdr.
Таким образом, плотность вероятности рас-
пределения частиц на плоскости по их расстоя-
ниям от точки О имеет вид
F(r) = 2f(r)r. (1)
Эта функция должна удовлетворять усло-
вию нормировки:
00
1)(2)( rdrrfdrrF
. (2)
Наиболее вероятное расстояние r
вер
частиц от точки О – это значение r, при ко-
тором функция F(r) имеет максимум и, следовательно, выполняется условие
0
)(
dr
rdF
(3)
Подставляя в (1) явное выражение для f(r), находим
.,0
0),/1(2
)(
22
ar
ararAr
rf
(4)
Следовательно, при 0 r a
)/31(2
)(
22
arA
dr
rdF
. (5)
Подставляя (5) в (3) и решая полученное уравнение относительно r, получим
3
a
r
в ер
.
С учетом (4) условие нормировки (2) принимает вид
1)/1(2
0
22
a
arrA
.
B
a
r
dS
dr
y
x
Рис. 6
О
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
