Геометрические преобразования в компьютерной графике. Косников Ю.Н. - 24 стр.

                                                                          24




Точку P(x,y)   может представлять тройкой своих координат w1, w2, w3
произвольная точка на прямой, соединяющей начало координат О (0, 0, 0)
с точкой P′ (x, y, 1). В частности, и точка P′ однозначно определяет точку
P, а также и любая точка P′′ c координатами (xh, yh, h), где h – скалярный
множитель. В этом можно убедиться, воспользовавшись выражениями
(2.3). Такое описание точки на плоскости называется в компьютерной
графике описанием в однородных координатах. Представляют точку
обычно так: (x : y : 1), то есть принимают h=1 , но применяют и общую
форму: (w1 : w2 : w3). Чтобы отличить однородное описание точки на
плоскости (три координаты – w1, w2, w3) от привычного описания точки в
декартовом пространстве (тоже три координаты – x, y, z), однородные
координаты в описании точки разделяют не запятой, а двоеточием,
например, A(xA:yA:1). Это правило не относится к матричному описанию
точки, так как в математике знаки препинания между элементами матриц
не ставятся, например, KA =| xA yA 1|.
      Теперь аффинное преобразование в общем виде будет выглядеть
следующим образом:
                                                       t11 t 21   0
                            ∗       ∗
                        x       y       1= x   y   1 ⋅ t12 t 22   0
                                                       x0∗ y0∗    1

или                     K∗ = K ⋅ T,                                   (2.4)
где обозначения очевидны.
      Перемножение матриц K и T даст два основных уравнения (2.1)
перевода точки из СКО в СКН и верное числовое равенство 1=1.
Следовательно, при помощи троек однородных координат и матриц
третьего порядка можно описать любое частное аффинное преобразование.