Методическое пособие по изучению дисциплины "Математика" и выполнению контрольных работ для студентов заочного и дистанционного обучения. Кострикина Л.П. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

5
Решение.
Вычислим этот интеграл.
Пусть t=3x+1, тогда dt = 3dx или dx =
3
dt
. Находим новые пределы интег-
рирования. Если x = 0, то t = 1.если x =1 , то t = 4.
Отсюда
()
∫∫∫
=−====
+
−
4
1
4
1
2
11
0
.
3
2
12
3
2
1
4
3
2
3
1
3
1
13
tdtt
t
dt
x
dx
Задача 4.
Найти значение интеграла
∫
2/
0
3
sin
π
xdx
Ответы: 1)
8
5
; 2)
3
2
; 3)3; 4)
6
1
; 5)
2
3
.
Решение.
Данный интеграл легко приводится к интегралу вида
∫
xdxxf sin)(cos , по-
этому применим подстановку cosx = t, sinxdx = -dt.
Определим новый промежуток интегрирования. Если x = 0, то cos0 = t
и t = 1, если x =
2/
π
то cos
2/
π
= t и t = 0, следовательно
()
∫∫∫∫
=−=−=−=−−=−=
2/
0
0
1
1
0
3
222
2/
0
3
3
2
3
1
1
0
1
)
3
()1()1(sincos1sin
ππ
t
tdttdttxdxxxdx
.
Задача 5.
Найти значение интеграла
∫
e
xdx
1
ln
Решение.
Применим формулу интегрирования по частям
∫∫
−=
b
a
b
a
vdu
a
b
uvudv
.
Полагая u = lnx,
dxdv
=
, определяем du = dx
x
1
,
x
v
=
.
Следовательно,
()
11011ln1ln
11
ln
1
ln
1
1
lnln
111
=+−−=−−−=−=−=−=
∫∫∫
eeeee
e
x
e
xxdx
e
xxxdx
x
e
xxxdx
eee
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                      Решение.
         Вычислим этот интеграл.
                                                                                  dt
         Пусть t=3x+1, тогда dt = 3dx или dx =                                       . Находим новые пределы интег-
                                                                                  3
         рирования. Если x = 0, то t = 1.если x =1 , то t = 4.
                            1              4     4  1
                                         1 dt 1 − 2      2 4 2
                                                           t = (2 − 1) = .
                                   dx                                   2
         Отсюда             ∫
                            0
                                        = ∫   = ∫ t dt =
                                  3x + 1 3 1 t 3 1       3 1 3          3


                                                                      Задача 4.
                                                           π /2
         Найти значение интеграла                           ∫ sin
                                                                      3
                                                                          xdx
                                                            0

                                 5                   2                                                     1                 3
         Ответы: 1)                ;            2)     ;                        3)3;                  4)     ;            5) .
                                 8                   3                                                     6                 2


                                                                      Решение.
         Данный интеграл легко приводится к интегралу вида                                                 ∫ f (cos x) sin xdx , по-
         этому применим подстановку cosx = t, sinxdx = -dt.
         Определим новый промежуток интегрирования. Если x = 0, то cos0 = t
         и t = 1, если x = π / 2 то cos π / 2 = t и t = 0, следовательно
         π /2                   π /2

                                 ∫ (1 − cos x )sin xdx = − ∫ (1 − t
                                                                  0                    1
                                                                                                              t3 1    1 2
          ∫ sin xdx =                                                           )dt = ∫ (1 − t 2 )dt = (t −     ) = 1− = .
               3                            2                               2

              0                  0                                1                    0
                                                                                                              3 0     3 3


                                                                      Задача 5.
                                                       e
         Найти значение интеграла ∫ ln xdx
                                                       1




                                                                      Решение.
         Применим формулу интегрирования по частям
                  b
                             b b
                  ∫a udv =uv a − ∫a vdu .

                                                                                       1
         Полагая u = lnx, dv = dx , определяем du =                                      dx , v = x .
                                                                                       x
         Следовательно,
          e
                             e e1              e e             e   e
          ∫1 ln xdx = x ln x  − ∫ xdx = x ln x  − ∫ dx = x ln x − x = e ln e − 1ln 1 − (e − 1) = e − 0 − e + 1 = 1
                             1 1x              1 1             1   1




                                                                                                                                       5


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы