Методическое пособие по изучению дисциплины "Математика" и выполнению контрольных работ для студентов заочного и дистанционного обучения. Кострикина Л.П. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

7
Задача 8.
Вычислить несобственный интеграл I =
2
1
0
1 x
dx
−
∫
Решение.
Подынтегральная функция терпит разрыв (обращается в бесконечность)
в точке x = 1, во всех остальных точках промежутка
[
]
1;0она непрерывна.
2
1
0
1 x
dx
−
∫ =
0
lim
→ε
2
1
0
1 x
dx
−
∫
−ε
=
0
lim
→ε
=
−
0
1
arcsin
ε
x
0
lim
→ε
(
)
(
)
==−−1arcsin0arcsin1arcsin ε
2
π
=.
Введение в математический анализ
Задача 9.
Закон прямолинейного движения материальной точки задан зависи-
мостью S(t)=5t
3
-8t+2, где S и t измеряются в метрах и секундах соответст-
венно. Найти скорость и ускорение в момент t=2 с.
Решение. Так как υ(t)=S’(t)=15t
2
-8, а ускорение a(t)=υ’(t)=30t, то в
момент t=2 с имеем υ(2)=15·2
2
-8=52(м/с), а(2)=30·2=20(м/с
2
).
Ответ: 52 м/с, 60 м/с
2
.
Задача 10.
Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику
функции в точке с абсциссой х
0
=1/2, у=е
2х-1
.
Решение. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графи-
ку функции у=f(x) в точке с абсциссой х
0
, равен производной этой функ-
ции, вычисленной в точке х
0
. Вычислим производную функции у=е
2х-1
. По-
лучим y’(x)=2·e
2x-1
. Тогда k=y’(1/2)=2·e
2·1/2-1
=2·e
0
=2.
Задача 11.
Найти уравнение касательной и нормали к кривой у=х
2
+1 в точке
А(1,2).
Решение. Найдём производную функции у=х
2
+1. В точке касания А
х=1 и, следовательно, угловой коэффициент касательной k
1
=2, а нормали
k
2
=-1/2. Поэтому искомые уравнения запишутся в виде
)1(
2
1
2),1(22 −−=−−=− xyxy или .
2
5
2
1
,2+−==xyxy
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                   Задача 8.
                                                               1
                                                                    dx
              Вычислить несобственный интеграл I = ∫
                                                               0
                                                                   1− x2

                                                   Решение.
           Подынтегральная функция терпит разрыв (обращается в бесконечность)
         в точке x = 1, во всех остальных точках промежутка [0;1] она непрерывна.
          1
                        lim  1−ε
                                       lim           1 − ε lim
          ∫
               dx
                    =         ∫
                                 dx
                                     =      arcsin x      =      (arcsin (1 − ε ) − arcsin 0) = arcsin 1 =
          0
            1− x2       ε → 0 0 1− x2 ε → 0          0      ε →0
           π
          = .
           2

                                Введение в математический анализ

                                                   Задача 9.
              Закон прямолинейного движения материальной точки задан зависи-
         мостью S(t)=5t3-8t+2, где S и t измеряются в метрах и секундах соответст-
         венно. Найти скорость и ускорение в момент t=2 с.
              Решение. Так как υ(t)=S’(t)=15t2-8, а ускорение a(t)=υ’(t)=30t, то в
         момент t=2 с имеем υ(2)=15·22-8=52(м/с), а(2)=30·2=20(м/с2).
              Ответ: 52 м/с, 60 м/с2.

                                                   Задача 10.
              Найти угловой коэффициент касательной, проведённой к графику
         функции в точке с абсциссой х0=1/2, у=е2х-1.
              Решение. Угловой коэффициент касательной, проведенной к графи-
         ку функции у=f(x) в точке с абсциссой х0, равен производной этой функ-
         ции, вычисленной в точке х0. Вычислим производную функции у=е2х-1. По-
         лучим y’(x)=2·e2x-1. Тогда k=y’(1/2)=2·e2·1/2-1=2·e0=2.

                                                   Задача 11.
              Найти уравнение касательной и нормали к кривой у=х2+1 в точке
         А(1,2).
              Решение. Найдём производную функции у=х2+1. В точке касания А
         х=1 и, следовательно, угловой коэффициент касательной k1=2, а нормали
         k2=-1/2.   Поэтому     искомые    уравнения    запишутся     в   виде
                                      1                           1   5
          y − 2 = 2( x − 1), y − 2 = − ( x − 1) или y = 2 x, y = − x + .
                                      2                           2   2




                                                                                                       7


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы