Методическое пособие по изучению дисциплины "Математика" и выполнению контрольных работ для студентов заочного и дистанционного обучения. Кострикина Л.П. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

8
Задача 12.
Показать, что при x=3 функция
3
−
=
x
x
y имеет разрыв.
Решение.
Находим −∞=
−
−→
3
lim
03
x
x
x
, +∞=
−
−→
3
lim
03
x
x
x
. Таким образом, функция при
3
→
x
не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, x=3 яв-
ляется точкой разрыва 2-го рода.
Задача 13.
Доказать непрерывность функции y=f(x) в точке x=0 или установить
характер точки разрыва функции в этой точке:
а)
x
x
y
sin
=
б)
.0,
1
≠= x
x
y
Решение.
а) При х=0 функция f(x) не определена, следовательно она не непрерывна в
этой точке. Так как 1
sin
lim
0
=
→
x
x
x
и соответственно пределы функции слева
и справа от точки x равной нулю совпадают, то х=0 – точка устранимого
разрыва первого рода.
б) Для данной функции точка х=0 есть точка разрыва второго рода, так как
−∞=
−→
)(
lim
00
xf
x
, +∞=
−→
)(
lim
00
xf
x
.
Задача 14.
Найти горизонтальные и вертикальные асимптоты графиков функций.
1). Пусть y=4+1/x. Находим 4
1
4
1
4
limlim
=
+=
+
−∞→∞→
xx
xx
, поэтому y=4 – го-
ризонтальная асимптота графика функции. Далее, так как
−∞=
++∞=
+
−→+→
xx
xx
1
4,
1
4
limlim
0000
, то х=0 – вертикальная асимптота.
2). Пусть y=2
1/х
. Здесь 122
11
limlim
===
−∞→∞→
х
x
х
x
и, значит у=1 - горизонтальная
асимптота графика данной функции. Отметим, что ось ординат является
вертикальной асимптотой. Действительно. +∞===
+→−→
х
x
х
x
1
00
1
00
2,02
limlim
.
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                                            Задача 12.
                                                                                         x
          Показать, что при x=3 функция y =                                                 имеет разрыв.
                                                                                        x−3
                                                                               Решение.
                                            x                              x
         Находим               lim x − 3 = −∞ , lim x − 3 = +∞ . Таким образом, функция при                                              x→3
                               x →3 − 0                     x →3 − 0

         не имеет ни левого, ни правого конечного предела. Следовательно, x=3 яв-
         ляется точкой разрыва 2-го рода.

                                                                            Задача 13.
         Доказать непрерывность функции y=f(x) в точке x=0 или установить
         характер точки разрыва функции в этой точке:
         а) y = sin x
                           x
         б)   y =
                        1
                          , x ≠ 0.
                        x

                                                                            Решение.
         а) При х=0 функция f(x) не определена, следовательно она не непрерывна в
                                                                sin x
         этой точке. Так как                              lim         = 1 и соответственно пределы функции слева
                                                          x→0     x
         и справа от точки x равной нулю совпадают, то х=0 – точка устранимого
         разрыва первого рода.
         б) Для данной функции точка х=0 есть точка разрыва второго рода, так как
         lim f ( x) = −∞ , lim f ( x) = +∞ .
          x →0− 0                         x →0− 0

                                                                            Задача 14.
         Найти горизонтальные и вертикальные асимптоты графиков функций.
                                                                                        1                    1
         1). Пусть y=4+1/x. Находим                                    lim  4 + x  = lim  4 + x  = 4 , поэтому y=4 – го-
                                                                           x →∞                x → −∞

         ризонтальная                               асимптота                  графика           функции.                 Далее,   так    как
                           1                            1
         lim  4 + x  = +∞, lim  4 + x  = −∞ , то х=0 – вертикальная асимптота.
          x →0+ 0                           x →0− 0
                                                                       1                   1
                                      1/х
         2). Пусть y=2 . Здесь                             lim 2       х
                                                                           = lim = 2 = 1 и, значит у=1 - горизонтальная
                                                                                           х

                                                           x →∞                x → −∞

         асимптота графика данной функции. Отметим, что ось ординат является
                                                                                                            1                  1

         вертикальной асимптотой. Действительно.                                                lim 2       х
                                                                                                                = 0, lim = 2 = +∞ .
                                                                                                                               х

                                                                                                x →0− 0              x →0+ 0




         8


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы