Методическое пособие по изучению дисциплины "Математика" и выполнению контрольных работ для студентов заочного и дистанционного обучения. Кострикина Л.П. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

6
Задача 6.
Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x
2
и y
2
= x
Решение.
Решая совместно систему уравнений y = x
2
, y
2
= x, находим абсциссы то-
чек пересечения данных кривых: x
1
= 0, x
2
= 1. Следовательно, пределы
интегрирования будут: a = 0, b = 1. Заметим, что xу =
1
,
2
2
xy = . Иско-
мую площадь вычисляем по формуле
()
()
∫∫∫∫
=−=−=−=−=−=
1
0
1
0
1
0
1
0
32/3
22
21
3
1
3
1
3
2
0
1
3
0
1
2
3
xx
dxxdxxdxxxdxyyS
.
Задача 7.
Вычислить несобственный интеграл I =
2
1
x
dx
+
∫
+∞
∞−
Решение.
−∞→a
lim
+
+
∫
o
a
x
dx
2
1
+∞→b
lim
∫
+
b
x
dx
0
2
1
=
−∞→a
lim
+
a
arctgx
0
+∞→b
lim
=
0
b
arctgx
()()
π
ππ
=+
−−=∞++∞−−=
22
arctgarctg
=
+
∫
+∞
∞−
2
1
x
dx
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                                          Задача 6.
         Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x2 и y2 = x

                                                          Решение.
         Решая совместно систему уравнений y = x2, y2 = x, находим абсциссы то-
         чек пересечения данных кривых: x1 = 0, x2 = 1. Следовательно, пределы
         интегрирования будут: a = 0, b = 1. Заметим, что у1 = x , y 2 = x 2 . Иско-
         мую площадь вычисляем по формуле

               ∫ ( y1 − y2 )dx = ∫ (           )
               1                 1                  1          1
                                                                           x3 / 2 1 x3 1 2 1 1
          S=                           x − x dx =   ∫   x dx − ∫ x 2dx =           −    = − = .
                                           2

               0                 0                  0          0
                                                                            3 0 3 0 3 3 3
                                                                            2




                                                           Задача 7.
                                                                     +∞
                                                                          dx
         Вычислить несобственный интеграл I = ∫
                                                                     −∞ 1 + x
                                                                              2




                                                          Решение.
          +∞                     o                  b
               dx         lim        dx      lim        dx      lim          0 lim          b
          ∫          =
          −∞ 1 + x
                   2             ∫
                          a → −∞ a 1 + x 2
                                           +        ∫
                                             b → +∞ 0 1 + x 2
                                                              =
                                                                a → −∞
                                                                       arctgx +
                                                                             a b → +∞
                                                                                      arctgx =
                                                                                            0


                                              π π
          = − arctg (− ∞ ) + arctg (+ ∞ ) = − −  + = π
                                              2 2



         6


PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы