Повторные независимые испытания. Кострикина Л.П. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МичГАУ | Мичуринск

Составители: 

Рубрика: 

10
2. Формула Пуассона.
Формула Бернулли удобна для вычисления лишь при сравни-
тельно небольшом числе испытаний n. При больших значениях n
пользоваться этой формулой неудобно.
Пусть n принимает большие значения
(
)
∞
→
n
, а 0
→
p , притом
так, что величина
np
=
λ
остаётся постоянной
(
)
10, ≤= λλ const
.
Тогда используют следующую теорему:
Предельная теорема Пуассона: Если вероятность наступле-
ния события А в каждом испытании постоянна и мала, а число
независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность то-
го, что событие А наступит k раз, приближенно равна
()
λ
λ
−
≈ e
k
k
k
n
P
, где
np
=
λ
Задача 1.
На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероят-
ность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно
четырёх студентов факультета?
Решение.
Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября,
равна P=1/365. Так как P=1/365- мала, n=1825 – велико и
np
=
λ
=
1825
365
1
⋅ =5
10
≤
, то применяем формулу Пуассона
1755,072,2
!
4
5
4
5
4
1825 =⋅≈
−
P
Задача 2.
Некоторое электронное устройство выходит из строя, если
откажет определенная микросхема. Вероятность её отказа в тече-
ние 1 часа работы устройства равна 0,004. Какова вероятность то-
го, что за 1000 часов работы устройства придется пять раз менять
микросхему?
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
                                        2. Формула Пуассона.

              Формула Бернулли удобна для вычисления лишь при сравни-
         тельно небольшом числе испытаний n. При больших значениях n
         пользоваться этой формулой неудобно.
              Пусть n принимает большие значения (n → ∞ ) , а p → 0 , притом
         так, что величина λ = np остаётся постоянной (λ = const, λ ≤ 10) .
         Тогда используют следующую теорему:
              Предельная теорема Пуассона: Если вероятность наступле-
         ния события А в каждом испытании постоянна и мала, а число
         независимых испытаний n достаточно велико, то вероятность то-
         го, что событие А наступит k раз, приближенно равна
                        λk −λ
               Pn (k ) ≈ e , где             λ = np
                        k!

                                     Задача 1.
            На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероят-
         ность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно
         четырёх студентов факультета?

             Решение.
             Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября,
         равна P=1/365. Так как P=1/365- мала, n=1825 – велико и λ = np =
         1825 ⋅ 1 =5 ≤ 10 , то применяем формулу Пуассона
                365
                                54
               P        
                   1825 
                        
                            4 ≈
                             
                              
                                   ⋅ 2 , 72 − 5 = 0 ,1755
                                4!


                                    Задача 2.
              Некоторое электронное устройство выходит из строя, если
         откажет определенная микросхема. Вероятность её отказа в тече-
         ние 1 часа работы устройства равна 0,004. Какова вероятность то-
         го, что за 1000 часов работы устройства придется пять раз менять
         микросхему?


         10

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Страницы