Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Формулы Грина в пространстве 33
Р е ш е н и е. Обозначим
i + j + k
r
= a. Применив к
rot rot a формулу (34), получим
rot rot rot a = rot grad div a − rot ∆a.
Имеем: rot grad div a = 0 (см. задачу 14а)),
∆a =
i + j + k
r
= ∆
1
r
(i + j + k) (см. (32)).
Из (31) и (7) следует, что
∆
1
r
= div grad
1
r
= 0 ⇒ ∆a = 0 ⇒ rot ∆a = 0.
Итак, rot rot rot
i + j + k
r
= 0.
О т в е т. 0.
Формулы Грина в R
3
Задача 17. Доказать первую формулу Грина в R
3
:
ZZZ
G
v∆u dx
1
dx
2
dx
3
= −
ZZZ
G
3
X
i=1
∂v
∂x
i
∂u
∂x
i
dx
1
dx
2
dx
3
+
+
ZZ
S
v
∂u
∂n
ds,
(35)
где G — область в R
3
с кусочно-гладкой границей S, n —
единичная внешняя нормаль к поверхности S, u(x
1
, x
2
, x
3
)
— дважды, а v(x
1
, x
2
, x
3
) — один раз непрерывно диффе-
ренцируемые в G функции.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Заменив ∆u на div grad u и ис-
пользовав ∇, можно записать первую формулу Грина в
таком виде:
ZZZ
G
v div grad u dx
1
dx
2
dx
3
= −
ZZZ
G
(∇v, ∇u) dx
1
dx
2
dx
3
+
+
ZZ
S
v
∂u
∂n
ds. (36)
                   Формулы Грина в пространстве            33

                                     i+j+k
      Р е ш е н и е.     Обозначим     r
                                           = a. Применив к
rot rot a формулу (34), получим
               rot rot rot a = rot grad div a − rot ∆a.
Имеем: rot grad div a = 0 (см. задачу 14а)),
                          
           i+j+k            1
  ∆a =                =∆        (i + j + k)  (см. (32)).
              r             r
  Из (31) и (7) следует, что
                     
       1                1
   ∆       = div grad       = 0 ⇒ ∆a = 0 ⇒ rot ∆a = 0.
       r                r
                       i+j+k
Итак, rot rot rot        r
                             = 0.
      О т в е т.   0.
                        Формулы Грина в R3
   Задача 17. Доказать первую формулу Грина в R3 :
  ZZZ                    ZZZ X3
                                 ∂v ∂u
      v∆u dx1 dx2 dx3 = −                dx1 dx2 dx3 +
                                 ∂xi ∂xi
   G                      G  i=1
                         ZZ                            (35)
                              ∂u
                        + v       ds,
                              ∂n
                                S

где G — область в R3 с кусочно-гладкой границей S, n —
единичная внешняя нормаль к поверхности S, u(x1 , x2 , x3 )
— дважды, а v(x1 , x2 , x3 ) — один раз непрерывно диффе-
ренцируемые в G функции.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Заменив ∆u на div grad u и ис-
пользовав ∇, можно записать первую формулу Грина в
таком виде:
ZZZ                                ZZZ
     v div grad u dx1 dx2 dx3 = −      (∇v, ∇u) dx1 dx2 dx3 +
  G
                                     ZZG
                                         ∂u
                                    + v     ds.           (36)
                                         ∂n
                                      S

Страницы