Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

34 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
Согласно формуле (4), имеем
∂u
∂n
= (∇u, n), v
∂u
∂n
= (v grad u, n). (37)
Обозначив grad u через a и применив формулу (19) к
div(v grad u), получим
div(v grad u) = div (va) = (grad v, a) + v div a =
= (∇v, ∇u) + v div grad u. (38)
Далее по формуле Остроградского–Гаусса имеем
(см. (10)):
ZZZ
G
div(v grad u) dx
1
dx
2
dx
3
=
ZZ
S
(v grad u, n) ds,
откуда в силу формул (37), (38) следует (36), а значит,
и (35). Первая формула Грина доказана.
Задача 18. Доказать вторую ф ормулу Грина в R
3
:
ZZZ
G
(v∆u − u∆v) dx
1
dx
2
dx
3
=
ZZ
S
v
∂u
∂n
− u
∂v
∂n
ds, (39)
где G — область в R
3
с кусочно-гладкой границей S, n —
единичная внешняя нормаль к поверхности S, u(x
1
, x
2
, x
3
),
v(x
1
, x
2
, x
3
) — дважды непрерывно дифференцируемые в G
функции.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Напишем первую формулу
Грина (35), поменяв местами u и v:
ZZZ
G
u∆v dx
1
dx
2
dx
3
= −
ZZZ
G
3
X
i=1
∂u
∂x
i
∂v
∂x
i
dx
1
dx
2
dx
3
+
ZZ
S
u
∂v
∂n
ds.
Вычтем это равенство из равенства (35). Получим (39).
Обе формулы Грина широко применяются в уравнениях
математической физики.
34           Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа


   Согласно формуле (4), имеем
            ∂u               ∂u
                = (∇u, n), v    = (v grad u, n). (37)
            ∂n               ∂n
   Обозначив grad u через a и применив формулу (19) к
div(v grad u), получим
         div(v grad u) = div(va) = (grad v, a) + v div a =
                       = (∇v, ∇u) + v div grad u.            (38)
   Далее по формуле Остроградского–Гаусса имеем
(см. (10)):
      ZZZ                              ZZ
            div(v grad u) dx1 dx2 dx3 = (v grad u, n) ds,
         G                               S
откуда в силу формул (37), (38) следует (36), а значит,
и (35). Первая формула Грина доказана.
    Задача 18. Доказать вторую формулу Грина в R3 :
  ZZZ                           ZZ             
                                       ∂u    ∂v
       (v∆u − u∆v) dx1 dx2 dx3 =     v    −u      ds, (39)
                                       ∂n    ∂n
     G                               S

где G — область в R3 с кусочно-гладкой границей S, n —
единичная внешняя нормаль к поверхности S, u(x1 , x2 , x3 ),
v(x1 , x2 , x3 ) — дважды непрерывно дифференцируемые в G
функции.
    Д о к а з а т е л ь с т в о.    Напишем первую формулу
Грина (35), поменяв местами u и v:
ZZZ                         ZZZ X3                      ZZ
                                   ∂u ∂v                   ∂v
    u∆v dx1 dx2 dx3 = −                    dx1 dx2 dx3 + u    ds.
                                   ∂xi ∂xi                 ∂n
 G                          G i=1                       S
   Вычтем это равенство из равенства (35). Получим (39).
   Обе формулы Грина широко применяются в уравнениях
математической физики.

Страницы