Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§7. Повторное применение оператора Гамильтона 31
§ 7. Повторное применение оператора
Гамильтона
Так как grad ϕ и rot a — векторы, к ним можно приме-
нить операции div и rot. В результате получаем div grad ϕ,
rot grad ϕ, div rot a, rot rot a.
К div a можно применить только операцию grad, в ре-
зультате получится grad div a.
Задача 14. Для скалярного поля ϕ(x, y, z), ϕ — два-
жды непрерывно дифференцируемая функция, вычислить:
а) rot grad ϕ; б) div grad ϕ.
Р е ш е н и е. а) Так как поле a = grad ϕ потенциально,
то
rot a = rot grad ϕ = 0 (см. утв. 5).
Это же можно получить, пользуясь символическим век-
тором ∇:
rot grad ϕ = [∇, ∇ϕ] = [∇, ∇]ϕ = 0,
ибо векторное произведение любого вектора (в том числе
∇) на самого себя равно нулю.
б)
div grad ϕ = div
∂ϕ
∂x
i +
∂ϕ
∂y
j +
∂ϕ
∂z
k
=
=
∂
2
ϕ
∂x
2
+
∂
2
ϕ
∂y
2
+
∂
2
ϕ
∂z
2
= ∆ϕ, (31)
где ∆ — оператор Лапласа:
∆ =
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
.
Так как и дивергенция и градиент не зависят от выбора
системы координат, то и ∆ϕ зависит лишь от самого поля,
но не от системы координат (см. (31)).
Оператор Лапласа естественно рассматривать как ска-
лярный квадрат вектора ∇:
(∇, ∇)ϕ = ∇
2
ϕ = ∆ϕ.
     § 7. Повторное применение оператора Гамильтона      31


 § 7. Повторное применение оператора
              Гамильтона
    Так как grad ϕ и rot a — векторы, к ним можно приме-
нить операции div и rot. В результате получаем div grad ϕ,
rot grad ϕ, div rot a, rot rot a.
    К div a можно применить только операцию grad, в ре-
зультате получится grad div a.
    Задача 14. Для скалярного поля ϕ(x, y, z), ϕ — два-
жды непрерывно дифференцируемая функция, вычислить:
а) rot grad ϕ; б) div grad ϕ.
    Р е ш е н и е. а) Так как поле a = grad ϕ потенциально,
то
              rot a = rot grad ϕ = 0 (см. утв. 5).
    Это же можно получить, пользуясь символическим век-
тором ∇:
            rot grad ϕ = [∇, ∇ϕ] = [∇, ∇]ϕ = 0,
ибо векторное произведение любого вектора (в том числе
∇) на самого себя равно нулю.
                                           
   б)                       ∂ϕ    ∂ϕ    ∂ϕ
         div grad ϕ = div      i+    j+    k =
                            ∂x    ∂y    ∂z
                      ∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ
                    =      +      + 2 = ∆ϕ,       (31)
                      ∂x2    ∂y 2   ∂z
где ∆ — оператор Лапласа:
                      ∂2     ∂2    ∂2
                  ∆=      +     +      .
                      ∂x2 ∂y 2 ∂z 2
   Так как и дивергенция и градиент не зависят от выбора
системы координат, то и ∆ϕ зависит лишь от самого поля,
но не от системы координат (см. (31)).
   Оператор Лапласа естественно рассматривать как ска-
лярный квадрат вектора ∇:
                  (∇, ∇)ϕ = ∇2 ϕ = ∆ϕ.

Страницы