Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

30 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
rot r =
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
x y z
= 0 (29)
(то же следует по утверждению 5 из потенциальности поля
вида a = f(r)r, f ≡ 1 (см. задачу 7)).
По формуле (26) получаем
rot[c, r] = (r∇)c − r div c + c div r − (c∇)r = 3c − c = 2c,
так как (r∇)c = 0, div c = 0, div r = 3, (c∇)r = c (см. (23)).
В силу (28)
div[r, [c, r]] = −2(r, c).
О т в е т. −2(r, c).
в) Имеем по формуле (27):
rot[r, R] = (R∇)r − (r∇)R + r div R − R div r, (30)
где R = [c, r], c = (c
1
, c
2
, c
3
), c
i
— постоянные по условию,
i = 1, 2, 3.
Вычислим слагаемые, стоящие в правой части фор-
мулы (30):
(R∇)r = R (см. (23));
R = [c, r] =
i j k
c
1
c
2
c
3
x y z
= (c
2
z−c
3
y)i−(c
1
z−c
3
x)j+(c
1
y−c
2
x)k;
(r∇)R = x
∂R
∂x
+ y
∂R
∂y
+ z
∂R
∂z
= R
(см. (22а), (22б), (22в)); div r = 3; div R = 0. Поэтому
из (30) следует, что
rot[r, [c, r]] = R − R − 3R = −3[c, r] = 3[r, c].
О т в е т. 3[r, c].
30         Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа


                               i     j    k
                    rot r = ∂       ∂     ∂    =0            (29)
                            ∂x      ∂y    ∂z
                          x    y    z
(то же следует по утверждению 5 из потенциальности поля
вида a = f (r)r, f ≡ 1 (см. задачу 7)).
   По формуле (26) получаем
 rot[c, r] = (r∇)c − r div c + c div r − (c∇)r = 3c − c = 2c,
так как (r∇)c = 0, div c = 0, div r = 3, (c∇)r = c (см. (23)).
   В силу (28)
                       div[r, [c, r]] = −2(r, c).
     О т в е т. −2(r, c).
     в) Имеем по формуле (27):
      rot[r, R] = (R∇)r − (r∇)R + r div R − R div r,         (30)
где R = [c, r], c = (c1 , c2 , c3 ), ci — постоянные по условию,
i = 1, 2, 3.
    Вычислим слагаемые, стоящие в правой части фор-
мулы (30):
                 (R∇)r = R        (см. (23));
              i j k
R = [c, r] = c1 c2 c3 = (c2 z−c3 y)i−(c1 z−c3 x)j+(c1 y−c2 x)k;
              x y z
                       ∂R       ∂R      ∂R
             (r∇)R = x      +y      +z       =R
                        ∂x      ∂y       ∂z
(см. (22а), (22б), (22в)); div r = 3; div R = 0. Поэтому
из (30) следует, что
         rot[r, [c, r]] = R − R − 3R = −3[c, r] = 3[r, c].
     О т в е т.   3[r, c].

Страницы