Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. Однократное применение оператора Гамильтона 29
лам:
{(b∇)a}
x
= b
x
∂a
x
∂x
+ b
y
∂a
x
∂y
+ b
z
∂a
x
∂z
= (b, ∇a
x
), (22а)
{(b∇)a}
y
= b
x
∂a
y
∂x
+ b
y
∂a
y
∂y
+ b
z
∂a
y
∂z
= (b, ∇a
y
), (22б)
{(b∇)a}
z
= b
x
∂a
z
∂x
+ b
y
∂a
z
∂y
+ b
z
∂a
z
∂z
= (b, ∇a
z
). (22в)
Имеем, в частности, для радиуса-вектора r точки (x, y, z)
(b∇)r = b. (23)
Задача 13. Вычислить: а) rot[a, b]; б) div[r, [c, r]];
в) rot[r, [c, r]], где c — постоянный вектор, r — радиус-
вектор точки (x, y, z).
Р е ш е н и е. а) Имеем
rot[a, b] = [∇, [a, b]] = [∇, [
↓
a
, b]] + [∇, [a,
↓
b
]]. (24)
Применив правило вычисления двойного векторного произ-
ведения
[A, [B, C]] = B (A, C) −C (A, B) , (25)
получим
[∇, [
↓
a
, b]] = (b∇)
↓
a
−b(∇,
↓
a
) = (b∇)a−b(∇, a) = (b∇)a−b div a,
[∇, [a,
↓
b
]] = a(∇,
↓
b
) − (a∇)
↓
b
= a div b − (a∇)b.
Поэтому в силу формулы (24)
rot[a, b] = (b∇)a − b div a + a div b − (a∇)b, (26)
или
rot[a, b] = (b∇)a − (a∇)b + a div b − b div a. (27)
б) Обозначим [c, r] = R. Имеем по формуле (21):
div[r, R] = (R, rot r) −(r, rot R) = −(r, rot R) =
= −(r, rot[c, r]), (28)
так как
       § 6. Однократное применение оператора Гамильтона             29

лам:
                   ∂ax      ∂ax      ∂ax
          {(b∇)a}x = bx+ by     + bz     = (b, ∇ax ), (22а)
                    ∂x      ∂y        ∂z
                   ∂ay      ∂ay      ∂ay
     {(b∇)a}y = bx     + by     + bz     = (b, ∇ay ), (22б)
                    ∂x      ∂y       ∂z
                   ∂az      ∂az      ∂az
     {(b∇)a}z = bx     + by     + bz     = (b, ∇az ). (22в)
                    ∂x      ∂y       ∂z
Имеем, в частности, для радиуса-вектора r точки (x, y, z)
                                   (b∇)r = b.                      (23)
   Задача 13. Вычислить: а) rot[a, b]; б) div[r, [c, r]];
в) rot[r, [c, r]], где c — постоянный вектор, r — радиус-
вектор точки (x, y, z).
   Р е ш е н и е. а) Имеем
                                               ↓            ↓
            rot[a, b] = [∇, [a, b]] = [∇, [a, b]] + [∇, [a, b]].   (24)
Применив правило вычисления двойного векторного произ-
ведения
           [A, [B, C]] = B (A, C) − C (A, B) ,    (25)
получим
      ↓                ↓           ↓
[∇, [a, b]] = (b∇)a−b(∇, a) = (b∇)a−b(∇, a) = (b∇)a−b div a,
                 ↓             ↓           ↓
          [∇, [a, b]] = a(∇, b) − (a∇)b = a div b − (a∇)b.
Поэтому в силу формулы (24)
          rot[a, b] = (b∇)a − b div a + a div b − (a∇)b,           (26)
или
          rot[a, b] = (b∇)a − (a∇)b + a div b − b div a.           (27)
   б) Обозначим [c, r] = R. Имеем по формуле (21):
          div[r, R] = (R, rot r) − (r, rot R) = −(r, rot R) =
                     = −(r, rot[c, r]),                            (28)
так как

Страницы