Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. Однократное применение оператора Гамильтона 27
Далее по формуле (19), воспользовавшись (6) и (20), по-
лучим
div(f (r)a(r)) =
f
0
r
(r, a) +
f
r
r,
da
dr
.
Задача 12. Вычислить:
а) div[a, b];
б) div[a(r), b], r = |r|, r — радиус-вектор точки (x, y, z);
в) rot(ϕa), ϕ — скалярная функция.
Р е ш е н и е. а) Имеем
div[a, b] = (∇, [a, b]) = (∇, [
↓
a
, b]) + (∇, [a,
↓
b
]).
Совершив круговую перестановку сомножителей смешан-
ного произведения, преобразуем слагаемое (∇, [
↓
a
, b]) к виду
(b, [∇,
↓
a
]). Слагаемое (∇, [a,
↓
b
]) преобразуется аналогично,
если предварительно в нем поменять местами a с b, в ре-
зультате чего получим −(a, [∇,
↓
b
]).
Опустив знак ↓ и воспользовавшись формулой (18), бу-
дем иметь
div[a, b] = (b, rot a) − (a, rot b). (21)
б) Вычислим rot a(r). Воспользуемся формулой (14).
Учитывая, что компоненты P , Q, R вектора a(r) зависят
от r, получаем
rot a(r) =
h
R
0
(r)
y
r
− Q
0
(r)
z
r
i
i −
h
R
0
(r)
x
r
− P
0
(r)
z
r
i
j+
+
h
Q
0
(r)
x
r
− P
0
(r)
y
r
i
k =
1
r
i j k
x y z
P
0
(r) Q
0
(r) R
0
(r)
=
1
r
r,
da
dr
.
Тогда по формуле (21) имеем
div[a(r), b] =
b
r
,
r,
da
dr

− (a(r), rot b) .
в) Имеем rot(ϕa) = [∇, ϕa] = [∇,
↓
ϕ
a]+[∇, ϕ
↓
a
] = [∇ϕ, a]+
+ ϕ[∇, a] = [grad ϕ, a] + ϕ rot a (см. задачу 10).
     § 6. Однократное применение оператора Гамильтона          27


   Далее по формуле (19), воспользовавшись (6) и (20), по-
лучим
                              f0
                                                
                                       f      da
            div(f (r)a(r)) = (r, a) +      r,      .
                               r       r      dr
   Задача 12. Вычислить:
  а) div[a, b];
  б) div[a(r), b], r = |r|, r — радиус-вектор точки (x, y, z);
  в) rot(ϕa), ϕ — скалярная функция.
   Р е ш е н и е. а) Имеем
                                      ↓                ↓
       div[a, b] = (∇, [a, b]) = (∇, [a, b]) + (∇, [a, b]).
Совершив круговую перестановку сомножителей смешан-
                                                  ↓
ного произведения, преобразуем ↓
                                   слагаемое (∇, [a, b]) к виду
        ↓
(b, [∇, a]). Слагаемое (∇, [a, b]) преобразуется аналогично,
если предварительно в нем поменять ↓
                                         местами a с b, в ре-
зультате чего получим −(a, [∇, b]).
    Опустив знак ↓ и воспользовавшись формулой (18), бу-
дем иметь
               div[a, b] = (b, rot a) − (a, rot b).           (21)
   б) Вычислим rot a(r). Воспользуемся формулой (14).
Учитывая, что компоненты P , Q, R вектора a(r) зависят
от r, получаем
             h       y       zi      h      x         zi
   rot a(r) = R0 (r) − Q0 (r) i − R0 (r) − P 0 (r) j+
                     r       r              r         r
                               i       j      k              
  h
      0  x     0   yi   1                           1      da
+ Q (r) − P (r) k =           x       y       z   =     r,      .
         r         r    r                           r      dr
                            P 0 (r) Q0 (r) R0 (r)
Тогда по формуле (21) имеем
                                  
                          b      da
        div[a(r), b] =      , r,        − (a(r), rot b) .
                          r      dr
                                        ↓          ↓
   в) Имеем rot(ϕa) = [∇, ϕa] = [∇, ϕa]+[∇, ϕa] = [∇ϕ, a]+
+ ϕ[∇, a] = [grad ϕ, a] + ϕ rot a (см. задачу 10).

Страницы