Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

26 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
Правила работы с ∇
1. Если ∇ стоит перед линейной комбинацией
n
P
i=1
α
i
p
i
, где
α
i
— постоянные, p
i
— функции точки (скалярные или
векторные), то
∇
n
X
i=1
α
i
p
i
!
=
n
X
i=1
α
i
∇p
i
.
2. Если ∇ стоит перед произведением функций p, q, то
∇ применяется поочередно к каждой из этих функций
(над ней ставится в этом случае знак ↓), результаты
складываются:
∇(pq) = ∇(
↓
p
q) + ∇(p
↓
q
).
Затем полученные произведения преобразуются по
правилам векторной алгебры так, чтобы за ∇ стоял
только множитель, снабженный знаком ↓. После этого
знак ↓ можно опустить.
Задача 11. Вычислить, считая f скалярной функцией:
а) div(f a);
б) div(f (r)a(r)), r = |r|, r — радиус-вектор точки
(x, y, z).
Р е ш е н и е. а)
div(f a) = (∇, f a) = (∇,
↓
fa) + (∇, f
↓
a
) =
= (∇
↓
f, a) + f (∇,
↓
a
) = (a, ∇f) + f (∇, a) =
= (a, grad f) + f div a. (19)
б) Вычислим div a(r). Учитывая, что компоненты вектора
a(r) зависят от r, аналогично формуле (6) получаем
div a(r) =
da
dr
,
r
r
, (20)
где
da
dr
— вектор, компоненты которого есть производные
по r от компонент вектора a(r).
26         Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

                     Правила работы с ∇
                                                         n
                                                         P
     1. Если ∇ стоит перед линейной комбинацией                αi pi , где
                                                         i=1
       αi — постоянные, pi — функции точки (скалярные или
       векторные), то
                         n          n
                                 !
                        X           X
                    ∇       αi pi =   αi ∇pi .
                           i=1             i=1
     2. Если ∇ стоит перед произведением функций p, q, то
        ∇ применяется поочередно к каждой из этих функций
        (над ней ставится в этом случае знак ↓), результаты
        складываются:
                                     ↓               ↓
                        ∇(pq) = ∇(pq) + ∇(pq ).
       Затем полученные произведения преобразуются по
       правилам векторной алгебры так, чтобы за ∇ стоял
       только множитель, снабженный знаком ↓. После этого
       знак ↓ можно опустить.
      Задача 11. Вычислить, считая f скалярной функцией:
     а) div(f a);
     б) div(f (r)a(r)), r = |r|, r — радиус-вектор точки
        (x, y, z).
      Р е ш е н и е. а)
                                 ↓               ↓
       div(f a) = (∇, f a) = (∇, f a) + (∇, f a) =
                     ↓             ↓
                = (∇f , a) + f (∇, a) = (a, ∇f ) + f (∇, a) =
               = (a, grad f ) + f div a.                            (19)
б) Вычислим div a(r). Учитывая, что компоненты вектора
a(r) зависят от r, аналогично формуле (6) получаем
                                     
                                 da r
                    div a(r) =     ,    ,          (20)
                                 dr r
      da
где dr — вектор, компоненты которого есть производные
по r от компонент вектора a(r).

Страницы