Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§6. Однократное применение оператора Гамильтона 25
Величины, входящие в правую часть равенства (17), не
зависят от выбора системы координат одной и той же ори-
ентации. Однако при замене правой системы координат на
левую и неизменном ν направление обхода γ
ε
изменяется
на противоположное, что влечет изменение знака в правой
части (17), а значит, и rot a.
Таким образом, rot a инвариантен относительно пре-
образований прямоугольных координат, сохраняющих их
ориентацию; rot a — аксиальный, или осевой вектор (та-
ким называют вектор в ориентированном пространстве, ко-
торый при изменении ориентации пространства преобразу-
ется в противоположный вектор).
§ 6. Однократное применение оператора
Гамильтона
Оператор Гамильтона ∇ (3) удобно трактовать как сим-
волический ве ктор с компонентами
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
, а примене-
ние его к скалярной функции — как умножение скаляра на
этот ве ктор. С помощью ∇ удобно записывать для a =
= (P, Q, R):
div a =
∂
∂x
P +
∂
∂y
Q +
∂
∂z
R = (∇, a),
rot a =
∂
∂y
R −
∂
∂z
Q
i +
∂
∂z
P −
∂
∂x
R
j +
+
∂
∂x
Q −
∂
∂y
P
k = [∇, a], (18)
т.е. дивергенция векторного поля a есть скалярное про-
изведение символического вектора ∇ и вектора a, а ротор
векторного поля a есть векторное произведе ние вектора ∇
и вектора a.
    § 6. Однократное применение оператора Гамильтона    25


   Величины, входящие в правую часть равенства (17), не
зависят от выбора системы координат одной и той же ори-
ентации. Однако при замене правой системы координат на
левую и неизменном ν направление обхода γε изменяется
на противоположное, что влечет изменение знака в правой
части (17), а значит, и rot a.
   Таким образом, rot a инвариантен относительно пре-
образований прямоугольных координат, сохраняющих их
ориентацию; rot a — аксиальный, или осевой вектор (та-
ким называют вектор в ориентированном пространстве, ко-
торый при изменении ориентации пространства преобразу-
ется в противоположный вектор).

§ 6. Однократное применение оператора
             Гамильтона
   Оператор Гамильтона ∇ (3) удобно трактовать как сим-
                                    ∂   ∂   ∂
волический вектор с компонентами ∂x , ∂y , ∂z , а примене-
ние его к скалярной функции — как умножение скаляра на
этот вектор. С помощью ∇ удобно записывать для a =
= (P, Q, R):
                      ∂       ∂      ∂
             div a =     P+      Q+     R = (∇, a),
                      ∂x     ∂y     ∂z
                                               
                   ∂      ∂            ∂      ∂
       rot a =       R−      Q i+        P−      R j+
                  ∂y      ∂z          ∂z      ∂x
                                
                     ∂       ∂
                +       Q−      P k = [∇, a],         (18)
                     ∂x     ∂y
т.е. дивергенция векторного поля a есть скалярное про-
изведение символического вектора ∇ и вектора a, а ротор
векторного поля a есть векторное произведение вектора ∇
и вектора a.

Страницы