Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 24 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

24 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
Следовательно, b = ϕ rot a+[grad ϕ, a]. Нетрудно получить
другое выражение для b. Имеем
b
x
=
∂(ϕR)
∂y
−
∂(ϕQ)
∂z
,
b
y
=
∂(ϕP )
∂z
−
∂(ϕR)
∂x
,
b
z
=
∂(ϕQ)
∂x
−
∂(ϕP )
∂y
,
т.е. b = rot(ϕa).
О т в е т. b = rot(ϕa) = ϕ rot a + [grad ϕ, a].
При решении задачи 10 получено выражение для
rot(ϕa). Об этом см. еще задачу 12в).
Утверждение 6. Пусть в области G ⊂ R
3
опреде-
лено векторное пол е a = (P, Q, R) с непрерывно дифферен-
цируемыми компонентами; M
0
— фиксированная точка,
M
0
~ν
γ
ε
π
x
y
z
0
Рис. 12
M
0
∈ G, ν — произ-
вольный фиксирован-
ный единичный век-
тор; π — плоскость,
перпендикулярная век-
тору ν и проходящая
через M
0
; K
ε
— круг в
плоскости π радиуса ε
с центром в точке M
0
, K
ε
⊂ G, γ
ε
— граница круга K
ε
.
Пусть окружность γ
ε
(см. рис. 12) ориентирована по
отношению к ν по правилу правого винта (для правой
системы координат). Тогда в точке M
0
(rot a, ν ) = lim
ε→+0
R
γ
ε
a dr
σ
ε
, (17)
где σ
ε
— площадь круга K
ε
.
По формуле (17) выражаются проекции rot a на лю-
бые взаимно ортогональные единичные векторы ν
1
, ν
2
, ν
3
.
Этими проекциями rot a однозначно определяется.
24       Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа


Следовательно, b = ϕ rot a+[grad ϕ, a]. Нетрудно получить
другое выражение для b. Имеем
                          ∂(ϕR) ∂(ϕQ)
                    bx =           −          ,
                            ∂y          ∂z
                          ∂(ϕP ) ∂(ϕR)
                    by =           −          ,
                            ∂z          ∂x
                          ∂(ϕQ) ∂(ϕP )
                    bz =           −          ,
                            ∂x          ∂y
т.е. b = rot(ϕa).
    О т в е т. b = rot(ϕa) = ϕ rot a + [grad ϕ, a].
    При решении задачи 10 получено выражение для
rot(ϕa). Об этом см. еще задачу 12в).
    Утверждение 6. Пусть в области G ⊂ R3 опреде-
лено векторное поле a = (P, Q, R) с непрерывно дифферен-
цируемыми компонентами; M0 — фиксированная точка,
    z                                    M0 ∈ G, ν — произ-
                               ~ν        вольный фиксирован-
    0                                    ный единичный век-
             y                           тор; π — плоскость,
                          M       π
x                           0            перпендикулярная век-
                            γε           тору ν и проходящая
                                         через M0 ; Kε — круг в
               Рис. 12
                                         плоскости π радиуса ε
с центром в точке M0 , Kε ⊂ G, γε — граница круга Kε .
Пусть окружность γε (см. рис. 12) ориентирована по
отношению к ν по правилу правого винта (для правой
системы координат). Тогда в точке M0
                                      R
                                        γε a dr
                  (rot a, ν) = lim              ,          (17)
                                 ε→+0     σε
где σε — площадь круга Kε .
    По формуле (17) выражаются проекции rot a на лю-
бые взаимно ортогональные единичные векторы ν 1 , ν 2 , ν 3 .
Этими проекциями rot a однозначно определяется.

Страницы