Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

22 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
Задача 9. Убедившись в потенциальности поля
A
B
C
AB
x
y
z
0
Рис. 11
a = (y + z)i + (x + z
2
)j + (x + 2yz)k,
вычислить работу поля вдоль дуги
C
AB
окружности
x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
,
x = y
в первом октанте в направле-
нии от точки A(0, 0, R) к точке
B
R
√
2
,
R
√
2
, 0
(см. рис. 11).
Р е ш е н и е. Вычислим rot a.
rot a =
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
y + z x + z
2
x + 2yz
= 0.
Поле a потенциально в R
3
(по утверждению 5). Тогда
(по утвержде нию 4)
Z
C
AB
a dr =
Z
AO
a dr +
Z
OB
a dr,
AO, OB — прямолинейные отрезки (см. рис. 11).
Имеем на основании формулы (13)
Z
AO
a dr =
Z
AO
(a, −k) dl = 0 (x = 0, y = 0 на AO);
Z
OB
a dr =
Z
OB
(a, τ ) dl =
Z
OB
y dx + x dy = (xy)
B
O
=
R
2
2
⇒
Z
C
AB
a dr =
R
2
2
.
О т в е т.
R
2
2
.
Замечание к задаче 9 (второй способ решения). Так
22             Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

     Задача 9. Убедившись в потенциальности поля
           z
               A                     a = (y + z)i + (x + z 2 )j + (x + 2yz)k,
                   CAB               вычислить работу поля вдоль дуги
           0                         CAB окружности
                               y            2
                                             x + y 2 + z 2 = R2 ,
                B
                                             x=y
x
           Рис. 11                   в первом октанте в направле-
                                        от точки A(0, 0, R) к точке
                                     нии
                                            R √
                                            √     R
                                     B          ,    ,0         (см. рис. 11).
                                              2    2
     Р е ш е н и е.         Вычислим rot a.
                               i     j                   k
                                ∂             ∂         ∂
                    rot a =     ∂x            ∂y        ∂z       = 0.
                               y+z x+            z2   x + 2yz
   Поле a потенциально в                    R3
                             (по утверждению 5). Тогда
(по утверждению 4)
               Z         Z        Z
                  a dr =   a dr +    a dr,
                        CAB              AO            OB
AO, OB — прямолинейные отрезки (см. рис. 11).
   Имеем на основании формулы (13)
  Z       Z
    a dr = (a, −k) dl = 0 (x = 0, y = 0 на AO);
    AO             AO
                                                                     B
                                                                             R2
     Z              Z                  Z
         a dr =         (a, τ ) dl =        y dx + x dy = (xy)           =      ⇒
                                                                     O       2
    OB             OB                  OB
                                       R2
                        Z
                            a dr =          .
                                       2
                    CAB
                        R2
     О т в е т.         2
                           .
     Замечание к задаче 9 (второй способ решения). Так

Страницы