Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Ротор векторного поля. Формула Стокса 21
Р е ш е н и е. По формуле Стокса (16) имеем
Z
C
a dr =
ZZ
S
rot a ds =
ZZ
S
(rot a, n) ds,
где S — круг на плоскости x + y + z = 0, границей кото-
рого служит окружность C; n =
1
√
3
,
1
√
3
,
1
√
3
— еди-
ничный вектор нормали к S, направление которой согла-
суется с направлением обхода окружности C по правилу
правого винта. Вычислим rot a.
rot a =
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
y z x
= −i − j − k = (−1; −1; −1),
(rot a, n) = −
1
√
3
−
1
√
3
−
1
√
3
= −
√
3 ⇒
ZZ
S
(rot a, n) ds = −
√
3
ZZ
S
ds = −πR
2
√
3.
О т в е т. −πR
2
√
3.
Определение 11. Область G ⊂ R
3
называется по-
верхностно односвязной, если, каков бы ни был простой
кусочно-гладкий замкнутый контур γ ⊂ G, существует
кусочно-гладкая ориентируемая поверхность, натянутая на
γ и лежащая в G.
Примером области, не являющейся поверхностно одно-
связной, служит тор.
Утверждение 5. Для того чтобы векторное поле a =
= (P, Q, R) с непрерывно дифференцируемыми компонен-
тами в области G было потенциальным, необходимо,
а в случае поверхностно односвязной области и доста-
точно, чтобы поле было безвихревым:
rot a = 0, или
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
,
∂Q
∂z
=
∂R
∂y
,
∂R
∂x
=
∂P
∂z
в области G.
       § 5. Ротор векторного поля. Формула Стокса     21


   Р е ш е н и е. По формуле Стокса (16) имеем
            Z         ZZ           ZZ
               a dr =    rot a ds = (rot a, n) ds,
           C         S            S
где S — круг на плоскости x + y +
                                 z = 0, границей
                                               кото-
                                   1   1    1
рого служит окружность C; n = √ , √ , √         — еди-
                                      3     3    3
ничный вектор нормали к S, направление которой согла-
суется с направлением обхода окружности C по правилу
правого винта. Вычислим rot a.
              i     j     k
    rot a = ∂       ∂     ∂ = −i − j − k = (−1; −1; −1),
             ∂x ∂y ∂z
              y     z     x
                           1   1     1      √
          (rot a, n) = − √ − √ − √ = − 3 ⇒
                            3   3     3
          ZZ                  √ ZZ            √
             (rot a, n) ds = − 3 ds = −πR2 3.
            S                 S
                   √
   О т в е т. −πR2 3.
   Определение 11. Область G ⊂ R3 называется по-
верхностно односвязной, если, каков бы ни был простой
кусочно-гладкий замкнутый контур γ ⊂ G, существует
кусочно-гладкая ориентируемая поверхность, натянутая на
γ и лежащая в G.
   Примером области, не являющейся поверхностно одно-
связной, служит тор.
   Утверждение 5. Для того чтобы векторное поле a =
= (P, Q, R) с непрерывно дифференцируемыми компонен-
тами в области G было потенциальным, необходимо,
а в случае поверхностно односвязной области и доста-
точно, чтобы поле было безвихревым:
                   ∂P   ∂Q      ∂Q   ∂R     ∂R    ∂P
  rot a = 0, или      =     ,      =    ,      =
                   ∂y    ∂x     ∂z   ∂y     ∂x    ∂z
в области G.

Страницы