Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Ротор векторного поля. Формула Стокса 19
Пусть в начало координат O помещена масса m. Если
теперь в некоторую точку M(x, y, z) поместить единичную
массу, то на нее будет действовать сила притяжения, рав-
ная
F = −γ
m
r
3
r.
Эти силы, определяемые в каждой точке пространства,
образуют векторное поле — поле тяготения точечной массы
m. Его можно представить как градиент скалярной функ-
ции
γm
r
, называемой ньютоновским потенциалом точеч-
ной массы m.
§ 5. Ротор векторного поля.
Формула Стокса в терминах поля
Определение 10. Пусть в области G ⊂ R
3
задано век-
торное поле a = (P, Q, R) с непрерывно дифференцируе-
мыми компонентами. Вектор
rot a =
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
,
∂P
∂z
−
∂R
∂x
,
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
(14)
называется ротором (вихрем) векторного поля a.
rot a удобно записывать в виде символического детер-
минанта
rot a =
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
, (15)
где i, j, k — единичные векторы, направленные по осям
координат, а под «умножением» символов
∂
∂x
,
∂
∂y
,
∂
∂z
на
некоторую функцию понимается выполнение соответству-
ющей операции дифференцирования. Разложив указанный
детерминант по элементам первой строки, получим (14).
Механический смысл ротора
Ротор скорости v любой точки твердого тела равен
удвоенной угловой скорости твердого тела. Покажем это.
         § 5. Ротор векторного поля. Формула Стокса            19

    Пусть в начало координат O помещена масса m. Если
теперь в некоторую точку M (x, y, z) поместить единичную
массу, то на нее будет действовать сила притяжения, рав-
ная                           m
                       F = −γ 3 r.
                              r
Эти силы, определяемые в каждой точке пространства,
образуют векторное поле — поле тяготения точечной массы
m. Его можно представить как градиент скалярной функ-
    γm
ции r , называемой ньютоновским потенциалом точеч-
ной массы m.

      § 5. Ротор векторного поля.
    Формула Стокса в терминах поля
   Определение 10. Пусть в области G ⊂ R3 задано век-
торное поле a = (P, Q, R) с непрерывно дифференцируе-
мыми компонентами. Вектор
                                            
                   ∂R ∂Q ∂P     ∂R ∂Q ∂P
         rot a =      −   ,   −      ,  −          (14)
                   ∂y   ∂z ∂z    ∂x ∂x    ∂y
называется ротором (вихрем) векторного поля a.
   rot a удобно записывать в виде символического детер-
минанта
                          i   j    k
                             ∂    ∂    ∂
                   rot a =                ,                   (15)
                             ∂x   ∂y   ∂z
                         P   Q R
где i, j, k — единичные векторы, направленные по осям
                                               ∂      ∂   ∂
координат, а под «умножением» символов ∂x , ∂y , ∂z на
некоторую функцию понимается выполнение соответству-
ющей операции дифференцирования. Разложив указанный
детерминант по элементам первой строки, получим (14).
             Механический смысл ротора
   Ротор скорости v любой точки твердого тела равен
удвоенной угловой скорости твердого тела. Покажем это.

Страницы