Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§4. Циркуляция векторного поля. Потенциальные поля 17
§ 4. Циркуляция векторного поля.
Потенциальные векторные поля
Пусть в области G ⊂ R
3
задано векторное поле a =
= (P, Q, R) с непрерывными компонентами.
Определение 8. Пусть L — ориентированная кусочно-
гладкая кривая, лежащая в области G. Интеграл
Z
L
a dr =
Z
L
P dx + Q dy + R dz =
Z
L
(a, τ ) dl (13)
называется работой векторного поля a вдоль L. Если L
— замкнутая кривая, то интеграл (13) называется цирку-
ляцией векторного поля a по кривой L. Через τ обозначен
в (13) единичный касательный вектор к кривой L, dl —
дифференциал длины дуги.
Определение 9. Векторное поле a(M ) называется по-
тенциальным, если его можно представить как градиент
некоторого скалярного поля u(M ):
a = grad u.
Тогда функция u(M ) называется потенциальной функцией,
или потенциалом векторного пол я a.
Утверждение 4. Для векторного поля a = (P, Q, R) с
непрерывными компонентами в области G эквивалентны
следующие три свойства:
1) Поле a потенциально, т.е. существует однозначная
функция u(x, y, z), имеющая непрерывные частные произ-
водные, такая, что
grad u = a в G,
или, что то же, du = P dx + Q dy + R dz (u — потенциал
поля a).
2) Циркуляция поля a по любой замкнутой ориентиро-
ванной кусочно-гладкой кривой L, лежащей в G, равна
нулю:
R
L
a dr = 0.
   § 4. Циркуляция векторного поля. Потенциальные поля   17


    § 4. Циркуляция векторного поля.
     Потенциальные векторные поля
   Пусть в области G ⊂ R3 задано векторное поле a =
= (P, Q, R) с непрерывными компонентами.
   Определение 8. Пусть L — ориентированная кусочно-
гладкая кривая, лежащая в области G. Интеграл
       Z         Z                    Z
          a dr = P dx + Q dy + R dz = (a, τ ) dl (13)
       L         L                       L
называется работой векторного поля a вдоль L. Если L
— замкнутая кривая, то интеграл (13) называется цирку-
ляцией векторного поля a по кривой L. Через τ обозначен
в (13) единичный касательный вектор к кривой L, dl —
дифференциал длины дуги.

   Определение 9. Векторное поле a(M ) называется по-
тенциальным, если его можно представить как градиент
некоторого скалярного поля u(M ):
                        a = grad u.
Тогда функция u(M ) называется потенциальной функцией,
или потенциалом векторного поля a.
   Утверждение 4. Для векторного поля a = (P, Q, R) с
непрерывными компонентами в области G эквивалентны
следующие три свойства:
1) Поле a потенциально, т.е. существует однозначная
функция u(x, y, z), имеющая непрерывные частные произ-
водные, такая, что
                     grad u = a в G,
или, что то же, du = P dx + Q dy + R dz (u — потенциал
поля a).
2) Циркуляция поля a по любой замкнутой ориентиро-
ванной Rкусочно-гладкой кривой L, лежащей в G, равна
нулю: L a dr = 0.

Страницы