Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
ченной между S
1
и S
2
. Поток поля a через поверхность
S, ориентированную, например, внешней нормалью, равен
нулю, так как поле соленоидально (по утверждению 3). На
поверхности S
∗
вектор a ортогонален нормали к поверхно-
сти, поэтому
ZZ
S
∗
a ds = 0.
Следовательно,
ZZ
S
1
a ds +
ZZ
S
2
a ds = 0.
Отсюда, изменив на поверхности S
1
направление нор-
мали на противоположное, получим, что поток поля a че-
рез сечение S
1
, как и через сечение S
2
, а значит, и любое
поперечное сечение, имеет одну и ту же величину.
Аналог ичным свойством обладает любое соленоидаль-
ное поле. Рассматривается так называемая векторная
трубка, состоящая из линий, в каждой точке которых ка-
сательная имеет направление поля.
Поток соленоидального поля через любое попе-
речное сечение векторной трубки имеет одну и ту
же величину.
Название «соленоидальное» происходит от «солен», что
по-гречески означает «трубка». Вместо «соленоидальное
поле» иногда говорят «трубчатое поле».
Вернемся к задаче 6. Рассмотрим векторное поле a =
= grad
−
e
4πr
в области G
0
: 0 < r < R
0
, R
0
= const > 0,
r — расстояние точки M
0
от переменной точки M. Имеем
div a = 0 в G
0
.
Область G
0
не является объемно односвязной, поэтому
к полю a не применимо в G
0
утверждение 3. Как показано
при решении задачи 6, поток поля a через любую сферу,
содержащую внутри себя точку M
0
, не равен нулю.
16       Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

ченной между S1 и S2 . Поток поля a через поверхность
S, ориентированную, например, внешней нормалью, равен
нулю, так как поле соленоидально (по утверждению 3). На
поверхности S ∗ вектор a ортогонален нормали к поверхно-
сти, поэтому           ZZ
                              a ds = 0.
                         S∗
     Следовательно,
                   ZZ         ZZ
                        a ds + a ds = 0.
                   S1           S2
   Отсюда, изменив на поверхности S1 направление нор-
мали на противоположное, получим, что поток поля a че-
рез сечение S1 , как и через сечение S2 , а значит, и любое
поперечное сечение, имеет одну и ту же величину.
   Аналогичным свойством обладает любое соленоидаль-
ное поле. Рассматривается так называемая векторная
трубка, состоящая из линий, в каждой точке которых ка-
сательная имеет направление поля.
   Поток соленоидального поля через любое попе-
речное сечение векторной трубки имеет одну и ту
же величину.
   Название «соленоидальное» происходит от «солен», что
по-гречески означает «трубка». Вместо «соленоидальное
поле» иногда говорят «трубчатое поле».
   Вернемся  к задаче 6. Рассмотрим векторное поле a =
            e
       
= grad − 4πr в области G0 : 0 < r < R0 , R0 = const > 0,
r — расстояние точки M0 от переменной точки M . Имеем
                    div a = 0 в G0 .
   Область G0 не является объемно односвязной, поэтому
к полю a не применимо в G0 утверждение 3. Как показано
при решении задачи 6, поток поля a через любую сферу,
содержащую внутри себя точку M0 , не равен нулю.

Страницы