Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
3) Если A
0
и A — точки области G, то интеграл
R
A
0
A
a dr по любой ориентированной кусочно-гладкой кри-
вой
A
0
A ⊂ G с началом в A
0
и с концом в A зависит от
A
0
и A, но не зависит от пути интегрирования, при
этом
Z
A
0
A
a dr = u(A) − u(A
0
).
Задача 7. Доказать, что поле a = f (r)r, где r = |r|, f(r)
— непрерывная функция, является потенциальным. Найти
поте нциал этого поля.
Р е ш е н и е. Соединим точку O, из которой проводятся
O
A
Рис. 9
радиусы-векторы всех точек, с любой точкой
A (см. рис. 9) отрезком OA прямой и вычислим
R
OA
a dr.
Воспользовавшись формулой (13) и заметив, что τ =
r
r
на OA, получим
Z
OA
a dr =
Z
OA
(a, τ ) dl =
Z
OA
f(r)r,
r
r
dr =
Z
OA
f(r)r dr.
Рассмотрим u =
R
r
0
f(t)t dt. Введем декартову прямо-
угольную систему координат с началом в точке O. Вы-
числим частные производные
∂u
∂x
,
∂u
∂y
,
∂u
∂z
. Получим
∂u
∂x
=
= f(r)rr
0
x
= f(r)r
x
r
= f(r)x, так как r =
p
x
2
+ y
2
+ z
2
.
Аналог ично,
∂u
∂y
= f (r)y,
∂u
∂z
= f (r)z ⇒
∂u
∂x
,
∂u
∂y
,
∂u
∂z
= grad u = f (r)r = a,
так как r = xi + yj + zk.
Итак, поле a потенциально и функция u — его потен-
циал.
О т в е т. u =
R
r
0
f(t)t dt.
18       Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа


3)
R Если A0 и A — точки области G, то интеграл
   a dr по любой ориентированной кусочно-гладкой кри-
 A0 A 
вой A0 A ⊂ G с началом в A0 и с концом в A зависит от
A0 и A, но не зависит от пути интегрирования, при
этом             Z
                     a dr = u(A) − u(A0 ).
                     
                   A0 A
    Задача 7. Доказать, что поле a = f (r)r, где r = |r|, f (r)
— непрерывная функция, является потенциальным. Найти
потенциал этого поля.
    Р е ш е н и е. Соединим точку O, из которой проводятся
            радиусы-векторы всех точек, с любой точкой
        A
            A
            R (см. рис. 9) отрезком OA прямой и вычислим
O
              OA a dr.
 Рис. 9                                                       r
    Воспользовавшись формулой (13) и заметив, что τ = r
на OA, получим
    Z          Z            Z                   Z
                                        r
       a dr = (a, τ ) dl =      f (r)r,    dr =    f (r)r dr.
                                        r
   OA         OA           OA                   OA
                        Rr
    Рассмотрим u = 0 f (t)t dt. Введем декартову прямо-
угольную систему координат с началом в точке O. Вы-
                                ∂u ∂u ∂u                 ∂u
числим частные производные ∂x , ∂y , ∂z . Получим ∂x =
                     x                      p
= f (r)rrx0 = f (r)r r = f (r)x, так как r = x2 + y 2 + z 2 .
Аналогично, ∂u                  ∂u
                  = f (r)y,        = f (r)z ⇒
               ∂y               ∂z
                         
              ∂u ∂u ∂u
                ,    ,      = grad u = f (r)r = a,
              ∂x ∂y ∂z
так как r = xi + yj + zk.
   Итак, поле a потенциально и функция u — его потен-
циал.              Rr
   О т в е т. u = 0 f (t)t dt.

Страницы