Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

20 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
Если твердое тело, у которого одна из точек O непо-
движна, вращается вокруг оси, проходящей через точку O,
с угловой скоростью ω = ξi+ηj+ζk, то скорость произволь-
ной точки M тела равна v = [ω, r], где r — радиус-вектор,
идущий из точки O к точке M. Следовательно,
v = [ω, r] =
i j k
ξ η ζ
x y z
= (ηz −ζy)i + (ζx −ξz)j + (ξy −ηx)k,
rot v =
i j k
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
ηz − ζy ζx − ξz ξy − ηx
= 2ξi + 2ηj + 2ζk = 2ω.
Слово «ротор» происходит от французского «rotation»,
что значит «вращение».
Используя понятия циркуляции и ротора (вихря) век-
торного поля, можно формулу Стокса записать в виде
равенства
Z
γ
a dr =
ZZ
S
rot a ds, (16)
то есть циркуляция векторного поля a по ориентирован-
ному контуру γ равна потоку вихря этого поля через ори-
ентированную поверхность S, ограниченную контуром γ,
при этом направление обхода контура и ориентация поверх-
ности согласованы по правилу правого винта (для правой
системы координат).
S
~n
C
x
y
z
0
Рис. 10
Задача 8. Найти циркуляцию век-
торного поля a = yi + zj + xk по окруж-
ности
C :
x
2
+ y
2
+ z
2
= R
2
,
x + y + z = 0
с заданным направлением движения
против хода часовой стрелки, если смо-
треть с положительной стороны оси
Ox (см. рис. 10).
20        Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

    Если твердое тело, у которого одна из точек O непо-
движна, вращается вокруг оси, проходящей через точку O,
с угловой скоростью ω = ξi+ηj+ζk, то скорость произволь-
ной точки M тела равна v = [ω, r], где r — радиус-вектор,
идущий из точки O к точке M . Следовательно,
             i j k
v = [ω, r] = ξ η ζ = (ηz − ζy)i + (ζx − ξz)j + (ξy − ηx)k,
             x y z
             i           j      k
            ∂         ∂         ∂
rot v =     ∂x        ∂y        ∂z
                                        = 2ξi + 2ηj + 2ζk = 2ω.
          ηz − ζy   ζx − ξz   ξy − ηx
   Слово «ротор» происходит от французского «rotation»,
что значит «вращение».
   Используя понятия циркуляции и ротора (вихря) век-
торного поля, можно формулу Стокса записать в виде
равенства         Z        ZZ
                    a dr =    rot a ds,            (16)
                     γ         S

то есть циркуляция векторного поля a по ориентирован-
ному контуру γ равна потоку вихря этого поля через ори-
ентированную поверхность S, ограниченную контуром γ,
при этом направление обхода контура и ориентация поверх-
ности согласованы по правилу правого винта (для правой
системы координат).
    z                 Задача 8. Найти циркуляцию век-
                   торного поля a = yi + zj + xk по окруж-
            y      ности       2
                                x + y 2 + z 2 = R2 ,
                          C:
              ~n                x+y+z =0
    0            x с заданным    направлением движения
 C    S            против хода часовой стрелки, если смо-
                   треть с положительной стороны оси
      Рис. 10      Ox (см. рис. 10).

Страницы