Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. Соленоидальные векторные поля 15
ZZ
S
0
a ds =
e
4π
ZZ
S
0
r
r
3
,
r
r
ds =
e
4πr
2
0
ZZ
S
0
ds = e.
M
0
S
0
S
0
0
γ
Рис. 7
Пусть S
0
0
— любая сфера такая, что M
0
находится внутри S
0
0
, но M
0
— не центр
ее (см. рис. 7). Построим сф еру S
0
с цен-
тром в M
0
такого малого радиуса, чтобы
она находилась внутри сферы S
0
0
.
Покажем, что
ZZ
S
0
0
a ds =
ZZ
S
0
a ds (12)
при внешней ориентации S
0
0
и S
0
.
Проведем плоскость, пересекающую обе сферы. Ею слой
между сферами разбивается на две области с общим участ-
ком границы γ. Границу каждой из этих областей ориен-
тируем внешней нормалью. Поток поля a через границу
каждой области равен нулю (по утверждению 3). Сложим
эти два потока. В сумму войдут потоки через S
0
0
, S
0
и γ.
Через γ они взаимно уничтожаются. Потому потоки через
S
0
0
и S
0
в сумме дают нуль. Беря на S
0
противоположную
ориентацию, получим равенство (12).
О т в е т. 0, если сфера не содержит внутри себя M
0
;
e, если содержит внутри себя M
0
.
M
0
~a
~a
S
∗
S
1
S
2
Рис. 8
Рассмотрим еще векторное
поле
a = grad
−
e
4πr
=
e
4π
r
r
3
.
Построим конус с вершиной в
M
0
. Пусть S
1
, S
2
— попереч-
ные сечения конуса, расположен-
ные (см. рис. 8) по одну сторону
от вершины. Рассмотрим замкну-
тую поверхность S, образованную сечениями S
1
, S
2
и по-
верхностью S
∗
— частью конической поверхности, заклю-
              § 3. Соленоидальные векторные поля                15

      ZZ                ZZ                  ZZ
                    e        r r       e
            a ds =             ,  ds =          ds = e.
                   4π        r3 r      4πr02
       S0               S0                   S0
    Пусть   S00
             — любая сфера такая, что M0
находится внутри S00 , но M0 — не центр
ее (см. рис. 7). Построим сферу S0 с цен-              S 0 M0
тром в M0 такого малого радиуса, чтобы
она находилась внутри сферы S00 .                  γ
                                                                S00
    Покажем, что
                                                       Рис. 7
             ZZ         ZZ
                 a ds =    a ds      (12)
                  S00        S0

при внешней ориентации S00 и S0 .
    Проведем плоскость, пересекающую обе сферы. Ею слой
между сферами разбивается на две области с общим участ-
ком границы γ. Границу каждой из этих областей ориен-
тируем внешней нормалью. Поток поля a через границу
каждой области равен нулю (по утверждению 3). Сложим
эти два потока. В сумму войдут потоки через S00 , S0 и γ.
Через γ они взаимно уничтожаются. Потому потоки через
S00 и S0 в сумме дают нуль. Беря на S0 противоположную
ориентацию, получим равенство (12).
    О т в е т. 0, если сфера не содержит внутри себя M0 ;
e, если содержит внутри себя M0 .
    Рассмотрим еще векторное
поле           e        e r
    a = grad −        =        .
                4πr      4π r3                      S2
                                          ~a
    Построим конус с вершиной в
                                              S1
M0 . Пусть S1 , S2 — попереч-
ные сечения конуса, расположен-                      S∗
                                               ~a
                                       M0
ные (см. рис. 8) по одну сторону
от вершины. Рассмотрим замкну-               Рис. 8
тую поверхность S, образованную сечениями S1 , S2 и по-
верхностью S ∗ — частью конической поверхности, заклю-

Страницы