Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§3. Соленоидальные векторные поля 13
мыми компонентами. Пусть точка M
0
∈ G и K
ε
— шар
радиуса ε с центром в точке M
0
, K
ε
⊂ G; S
ε
— граница
шара K
ε
. Тогда
div a(M
0
) = lim
ε→+0
RR
S
ε
(a, ν ) ds
V
ε
, (11)
где ν — единичный вектор внешней нормали к сфере S
ε
,
V
ε
— объем шара K
ε
.
Из формулы (11) следует, что дивергенция векторного
поля не зависит от системы координат.
Если div a 6= 0 в точке M
0
, то, как видно из фор-
мулы (11), для всех достаточно малых шаров K
ε
с центром
в точке M
0
будем иметь
RR
S
ε
(a, ν ) ds 6= 0.
Если рассматривать движение несжимаемой жидкости
при наличии источников, то количество вытекающей че-
рез замкнутую поверхность S жидкости, отнесенное к еди-
нице времени, называется производительностью источни-
ков, заключенных внутри S. Это есть поток вектора ско-
рости v; div v — плотность источников.
Аналогичное имеет место для теплового потока при на-
личии источников тепла.
Слово «дивергенция» происходит от французского «di-
vergence», что значит «расходимость».
§ 3. Соленоидальные векторные поля
Пусть в области G ⊂ R
3
задано векторное поле a(M ) с
непрерывно дифференцируемыми компонентами.
Определение 6. Векторное поле a, поток которого че-
рез любую кусочно-гладкую поверхность, лежащую в обла-
сти G и являющуюся границей некоторой ограниченной
области, равен нулю, называется соленоидальным в G.
Определение 7. Область G ⊂ R
3
называется объемно
односвязной, если для любой о граниченной области
           § 3. Соленоидальные векторные поля           13

мыми компонентами. Пусть точка M0 ∈ G и Kε — шар
радиуса ε с центром в точке M0 , Kε ⊂ G; Sε — граница
шара Kε . Тогда
                                 RR
                                    (a, ν) ds
               div a(M0 ) = lim Sε            ,       (11)
                            ε→+0     Vε
где ν — единичный вектор внешней нормали к сфере Sε ,
Vε — объем шара Kε .
   Из формулы (11) следует, что дивергенция векторного
поля не зависит от системы координат.
   Если div a 6= 0 в точке M0 , то, как видно из фор-
мулы (11), для всех достаточно
                          RR     малых шаров Kε с центром
в точке M0 будем иметь Sε (a, ν) ds 6= 0.
   Если рассматривать движение несжимаемой жидкости
при наличии источников, то количество вытекающей че-
рез замкнутую поверхность S жидкости, отнесенное к еди-
нице времени, называется производительностью источни-
ков, заключенных внутри S. Это есть поток вектора ско-
рости v; div v — плотность источников.
   Аналогичное имеет место для теплового потока при на-
личии источников тепла.
   Слово «дивергенция» происходит от французского «di-
vergence», что значит «расходимость».

  § 3. Соленоидальные векторные поля
   Пусть в области G ⊂ R3 задано векторное поле a(M ) с
непрерывно дифференцируемыми компонентами.
   Определение 6. Векторное поле a, поток которого че-
рез любую кусочно-гладкую поверхность, лежащую в обла-
сти G и являющуюся границей некоторой ограниченной
области, равен нулю, называется соленоидальным в G.

   Определение 7. Область G ⊂ R3 называется объемно
односвязной, если для любой ограниченной области

Страницы