Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса 11
Так как cos γ = 0 на S, то
ZZ
S
y
5
cos γ ds = 0.
Угол α между векторами ν и i = (1, 0, 0) острый, поэтому
ZZ
S
(z
2
− x) cos α ds =
ZZ
D
z
2
−
y
2
2
dy dz,
где D — проекция поверхности S на плоскость (y, z) (см.
рис. 2). Имеем
ZZ
D
z
2
−
y
2
2
dy dz = 2
3
Z
0
z
2
dz
2
Z
0
dy −
3
Z
0
dz
2
Z
0
y
2
dy =
=
4
3
z
3
3
0
−
8
3
z
3
0
= 36 − 8 = 28.
О т в е т. 28.
Используя понятия дивергенции и потока векторного
поля, можно формулу Остроградского–Гаусса записать в
виде равенства
ZZZ
D
div a dx dy dz =
ZZ
Σ
a ds, (10)
т.е. объемный интеграл по области D от дивергенции век-
торного поля a равен потоку этого поля через поверхность
1
1
1
0
~n
0
S
0
x
y
z
Рис. 3
Σ, ограничивающую область D
и ориентированную внешней нор-
малью.
Задача 5. Вычислить поток
векторного поля a = (xz, 0, 0) че-
рез ориентированную в направле-
нии внешней нормали наклонную
грань S
0
поверхности тетраэдра
V , ограниченного плоскостями:
 § 2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса 11

   Так как cos γ = 0 на S, то
                    ZZ
                       y 5 cos γ ds = 0.
                      S
Угол α между векторами ν и i = (1, 0, 0) острый, поэтому
                                          y2
        ZZ                      ZZ          
           (z 2 − x) cos α ds =      z2 −      dy dz,
                                          2
          S                        D
где D — проекция поверхности S на плоскость (y, z) (см.
рис. 2). Имеем
                          Z3   Z2   Z3 Z2
            y2
  ZZ          
         2
        z −      dy dz = 2 z dz dy − dz y 2 dy =
                             2
             2
   D                       0           0          0     0
                               3           3
                        4         8
                       = z3      − z           = 36 − 8 = 28.
                        3      0  3        0
   О т в е т. 28.
   Используя понятия дивергенции и потока векторного
поля, можно формулу Остроградского–Гаусса записать в
виде равенства
               ZZZ                  ZZ
                   div a dx dy dz =    a ds,    (10)
                 D                         Σ

т.е. объемный интеграл по области D от дивергенции век-
торного поля a равен потоку этого поля через поверхность
Σ, ограничивающую область D              z
и ориентированную внешней нор-             1
малью.                                           ~n0
    Задача 5. Вычислить поток
                                           S0
векторного поля a = (xz, 0, 0) че-
рез ориентированную в направле-          0
нии внешней нормали наклонную                        1 y
грань S0 поверхности тетраэдра
V , ограниченного плоскостями:      1
                                           x
                                                      Рис. 3

Страницы