Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
ZZ
S
R cos γ ds =
ZZ
D
R(x, y, f(x, y)) dx dy.
Аналог ично получаются формулы для вычисления ин-
тегралов
RR
S
P cos α ds и
RR
S
Q cos β ds (см. (8)) в случае яв-
ного представления поверхности S в виде x = ϕ(y, z) — для
первого интеграла и в виде y = ψ(x, z) — для второго.
Задача 4. Вычислить поток векторного поля
2
3
S
x
y
z
~ν
S
1
S
2
0
Рис. 1
a = (z
2
− x, 1, y
5
)
через ориентированную внутренней
нормалью поверхность S: y
2
= 2x,
отсеченную плоскостями: x = 2, z =
= 0, z = 3.
Р е ш е н и е. Согласно фор-
муле (8):
ZZ
S
a ds =
ZZ
S
(z
2
− x) cos α+
+ cos β + y
5
cos γ
ds,
где cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы внутрен-
ней нормали к S. Имеем
ZZ
S
cos β ds =
ZZ
S
1
cos β ds +
ZZ
S
2
cos β ds, (9)
где (см. рис. 1) S
1
, S
2
— части поверхности S, расположен-
ные соответственно при y>0 и y60, S = S
1
∪ S
2
; cos β > 0
-2 0 2
y
z
3
D
Рис. 2
на S
2
и отличается лишь знаком
от cos β в симметричных относи-
тельно плоскости (x, z) точках на
поверхности S
1
. Поэтому из (9)
следует, что
ZZ
S
cos β ds = 0.
10          Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

                ZZ                  ZZ
                     R cos γ ds =        R(x, y, f (x, y)) dx dy.
                S                   D
   Аналогично
         RR    получаются
                       RR формулы для вычисления ин-
тегралов S P cos α ds и S Q cos β ds (см. (8)) в случае яв-
ного представления поверхности S в виде x = ϕ(y, z) — для
первого интеграла и в виде y = ψ(x, z) — для второго.
   Задача 4. Вычислить поток векторного поля
z
                                       a = (z 2 − x, 1, y 5 )
           ~ν
                            через ориентированную внутренней
3               S1      y   нормалью поверхность S: y 2 = 2x,
                            отсеченную плоскостями: x = 2, z =
S                           = 0, z = 3.
     S2
                               Р е ш е н и е.        Согласно фор-
0          2              x муле (8):
                            ZZ        ZZ
                                          2
          Рис. 1               a ds =     (z − x) cos α+
                              S              S
                                                     + cos β + y 5 cos γ ds,
                                                                        

где cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы внутрен-
ней нормали к S. Имеем
            ZZ             ZZ           ZZ
                cos β ds =    cos β ds + cos β ds,   (9)
                 S                S1                 S2
где (см. рис. 1) S1 , S2 — части поверхности S, расположен-
ные соответственно при y>0 и y60, S = S1 ∪ S2 ; cos β > 0
          z                на S2 и отличается лишь знаком
          3                от cos β в симметричных относи-
                           тельно плоскости (x, z) точках на
           D               поверхности S1 . Поэтому из (9)
                           следует, что
     -2     0     2      y          ZZ
         Рис. 2                         cos β ds = 0.
                                                 S

Страницы