Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

8 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
div a =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
.
Задача 3. а) Вычислить div(grad f(r)), где r =
=
p
x
2
+ y
2
+ z
2
, f(r) — дважды непрерывно дифферен-
цируемая функция. б) В каком случае div grad f(r) = 0?
Р е ш е н и е. а) Вычислим grad f(r) = (P, Q, R). Имеем
P =
∂f(r)
∂x
= f
0
(r) ·
x
r
⇒ grad f = f
0
(r) ·
r
r
, (6)
где r — радиус-вектор точки (x, y, z).
Для вычисления div grad f найдем вначале
∂P
∂x
. Имеем
∂P
∂x
=
f
0
r
+ x
2
f
00
r
2
−
f
0
r
3
.
Заменяя в полученном выражении x последовательно на
y, потом на z, получаем аналогичные формулы для
∂Q
∂y
,
∂R
∂z
⇒
div grad f (r) =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
= f
00
+ 2
f
0
r
.
б) Решаем дифференциальное уравнение
f
00
+2
f
0
r
= 0, f
0
= u, u
0
+2
u
r
= 0,
du
u
= −2
dr
r
, f
0
= u =
C
0
r
2
.
f =
C
1
r
+ C
2
, C
i
= const, i = 0, 1, 2;
div grad
C
1
r
+ C
2
= 0.
(7)
О т в е т. а) f
00
+ 2
f
0
r
; б) f =
C
1
r
+ C
2
, C
i
— любые
постоянные, i = 1, 2.
Определение 5. Пусть в области G ⊂ R
3
задано век-
торное поле a = (P, Q, R) с непрерывными компонентами.
Пусть S — ориентированная кусочно-гладкая поверх-
ность, лежащая в области G, ν — единичный вектор нор-
мали к поверхности, задающей ее ориентацию. Интеграл
8           Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

                               ∂P    ∂Q ∂R
                      div a =      +    +    .
                               ∂x    ∂y   ∂z
   Задача 3. а) Вычислить div(grad f (r)), где r =
   p
=    x2 + y 2 + z 2 , f (r) — дважды непрерывно дифферен-
цируемая функция. б) В каком случае div grad f (r) = 0?
   Р е ш е н и е. а) Вычислим grad f (r) = (P, Q, R). Имеем
              ∂f (r)              x                    r
        P =            = f 0 (r) · ⇒ grad f = f 0 (r) · , (6)
                ∂x                r                    r
где r — радиус-вектор точки (x, y, z).
                                                   ∂P
    Для вычисления div grad f найдем вначале ∂x . Имеем
                      f0
                               00
                                    f0
                                       
                ∂P           2 f
                    =    +x        − 3 .
                 ∂x   r         r2  r
    Заменяя в полученном выражении x последовательно на
                                                            ∂Q
y, потом на z, получаем аналогичные формулы для ∂y ,
∂R
∂z
   ⇒
                    ∂P   ∂Q ∂R              f0
            div grad f (r) =
                       +     +    = f 00 + 2 .
                    ∂x    ∂y   ∂z           r
б) Решаем дифференциальное уравнение
          f0                    u       du       dr        C0
f 00 +2      = 0, f 0 = u, u0 +2 = 0,      = −2 , f 0 = u = 2 .
          r                      r       u        r         r
                      C1
                f=       + C2 , Ci = const, i = 0, 1, 2;
                       r                                   (7)
                                   C1
                       div grad       + C2 = 0.
                                   r
                                f0       C
   О т в е т.  а) f 00 + 2 r ; б) f = r1 + C2 , Ci — любые
постоянные, i = 1, 2.

   Определение 5. Пусть в области G ⊂ R3 задано век-
торное поле a = (P, Q, R) с непрерывными компонентами.
   Пусть S — ориентированная кусочно-гладкая поверх-
ность, лежащая в области G, ν — единичный вектор нор-
мали к поверхности, задающей ее ориентацию. Интеграл

Страницы