Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса 7
радиус-вектор произвольной точки M ∈ R
3
, проведенный
из фиксированной точки O. Найти grad |[r, a]|
3
.
Р е ш е н и е. Введем декартову прямоугольную правую
систему координат 0, i, j, k, k =
a
|a|
. Тогда имеем
a = (0, 0, |a|), r = xi + yj + zk,
[r, a] =
i j k
x y z
0 0 |a|
= |a|(yi − xj),
|[r, a]| = |a|(x
2
+ y
2
)
1/2
, |[r, a]|
3
= |a|
3
(x
2
+ y
2
)
3/2
.
Далее находим (см. определение 3)
grad |[r, a]|
3
= 3|a|
3
(x
2
+ y
2
)
1/2
(xi + yj) = 3|a|
2
|[r, a]|(r −zk).
А так как z = (r, k) =
r,
a
|a|
, то получим
grad |[r, a]|
3
= 3|a|
2
|[r, a]|
r −
r,
a
|a|
a
|a|
=
= 3 |[r, a]|(r (a, a) − a (a, r)) .
Используя формулу для двойного векторного произведения
[A, [B, C]] = B (A, C) − C (A, B), окончательно получаем
grad |[r, a]|
3
= 3 |[r, a]|[a, [r, a]] .
О т в е т. 3 |[r, a]|[a, [r, a]].
§ 2. Дивергенция и поток векторного
поля. Формула Остроградского–Гаусса
в терминах поля
Определение 4. Пусть в области G ⊂ R
3
задано век-
торное поле a = (P, Q, R) с непрерывно дифференцируе-
мыми компонентами.
Дивергенцией векторного поля a называется скалярная
функция
  § 2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса 7


радиус-вектор произвольной точки M ∈ R3 , проведенный
из фиксированной точки O. Найти grad |[r, a]|3 .
   Р е ш е н и е. Введем декартову прямоугольную правую
                                            a
систему координат 0, i, j, k, k = |a| . Тогда имеем
             a = (0, 0, |a|), r = xi + yj + zk,
                      i j k
            [r, a] = x y z = |a|(yi − xj),
                      0 0 |a|
     |[r, a]| = |a|(x2 + y 2 )1/2 ,     |[r, a]|3 = |a|3 (x2 + y 2 )3/2 .
    Далее находим (см. определение 3)
grad |[r, a]|3 = 3|a|3 (x2 + y 2 )1/2 (xi + yj) = 3|a|2 |[r, a]|(r − zk).
                                  a
                                   
А так как z = (r, k) = r, |a| , то получим
                                                      
                     3        2                     a     a
        grad |[r, a]| = 3|a| |[r, a]| r − r,                   =
                                                   |a| |a|
                       = 3 |[r, a]| (r (a, a) − a (a, r)) .
Используя формулу для двойного векторного произведения
[A, [B, C]] = B (A, C) − C (A, B), окончательно получаем
                 grad |[r, a]|3 = 3 |[r, a]| [a, [r, a]] .
    О т в е т.    3 |[r, a]| [a, [r, a]].

 § 2. Дивергенция и поток векторного
поля. Формула Остроградского–Гаусса
           в терминах поля
   Определение 4. Пусть в области G ⊂ R3 задано век-
торное поле a = (P, Q, R) с непрерывно дифференцируе-
мыми компонентами.
   Дивергенцией векторного поля a называется скалярная
функция

Страницы