Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 5 стр.

               § 1. Скалярные и векторные поля                5

 ∂f          ∂f                ∂f              ∂f
     (M0 ) =     (M0 ) cos α +    (M0 ) cos β + (M0 ) cos γ, (2)
  ∂l         ∂x                ∂y              ∂z
где cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы вектора l.
    Пусть функция f (x, y, z) дифференцируема в области G.
                                     ∂f ∂f ∂f
                                                 
    Определение 3. Вектор ∂x , ∂y , ∂z называется
градиентом скалярного поля f , или градиентом функции
f (x, y, z), и обозначается grad f .
    Операцию перехода от скалярного поля f к grad f обо-
значают, следуя Гамильтону, символом ∇ (читается «на-
бла») и называют оператором «набла», или оператором
Гамильтона. Таким образом, по определению
                         ∇f = grad f.                       (3)
   Формулу (2) можно переписать в следующем виде, учи-
тывая, что |l| = 1:
               ∂f
                   (M0 ) = (l, ∇f ) = |∇f | cos ϕ,        (4)
                ∂l
где ϕ — угол, образованный l и grad f в точке M0 . Отсюда
следует, что если | grad f (M0 )| 6= 0, то в точке M0 произ-
водная функции f по направлению достигает наибольшего
значения только по направлению grad f (cos ϕ = 1), при
этом
                       ∂f
                   max     (M0 ) = |∇f (M0 )|.
                        ∂l
   Итак, в каждой точке, в которой | grad f | не равен нулю,
направление grad f — это направление наибольшего роста
f (оно единственно), а длина его равна скорости возраста-
ния f по этому направлению.
   Если | grad f | = 0 в данной точке, то в этой точке про-
изводные функции f по всем направлениям равны нулю.
   Таким образом, установлено, что градиент скалярного
поля зависит лишь от самого поля, но не от выбора системы
координат.
   Пусть |∇f (M0 )| 6= 0. Пусть f (x, y, z) = C — поверх-