ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
§ 1. Скалярные и векторные поля.
Производная по направлению и
градиент скалярного поля
Определение 1. Говорят, что в области G задано ска-
лярное (или векторное) поле, если каждой точке M ∈ G
поставлено в соответствие некоторое число F (M) (или век-
тор a(M)).
Поле температуры внутри некоторого нагретого тела
— это скалярное поле. Поле гравитационное — векторное
поле.
Если дано некоторое скалярное или векторное поле в
области G ⊂ R
3
, то, введя систему координат, можно
представить скалярное поле в виде некоторой функции
F (x, y, z), а векторное поле — в виде вектор-функции a =
= (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).
Пусть в области G ⊂ R
3
задано скалярное поле f(M ).
Проведем луч через точку M
0
∈ G в направлении век-
тора l, |l| = 1.
Определение 2. Производной скалярного поля f в
точке M
0
по направлению l называется предел
∂f
∂l
(M
0
) = lim
t→+0
f(M) − f(M
0
)
t
,
−−−−
→
M
0
M = tl, t > 0, (1)
если он существует.
Введя систему координат, представим заданное скаляр-
ное поле в виде функции f (x, y, z).
Величину, задаваемую формулой (1), называют произ-
водной функции f(x, y, z) по направлению l.
Утверждение 1. Если функция f(x, y, z) в точке M
0
дифференцируема, то она в этой точке имеет производ-
ную по любому направлению l и эта производная нахо-
дится по формуле
4 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа § 1. Скалярные и векторные поля. Производная по направлению и градиент скалярного поля Определение 1. Говорят, что в области G задано ска- лярное (или векторное) поле, если каждой точке M ∈ G поставлено в соответствие некоторое число F (M ) (или век- тор a(M )). Поле температуры внутри некоторого нагретого тела — это скалярное поле. Поле гравитационное — векторное поле. Если дано некоторое скалярное или векторное поле в области G ⊂ R3 , то, введя систему координат, можно представить скалярное поле в виде некоторой функции F (x, y, z), а векторное поле — в виде вектор-функции a = = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)). Пусть в области G ⊂ R3 задано скалярное поле f (M ). Проведем луч через точку M0 ∈ G в направлении век- тора l, |l| = 1. Определение 2. Производной скалярного поля f в точке M0 по направлению l называется предел ∂f f (M ) − f (M0 ) −−−− → (M0 ) = lim , M0 M = tl, t > 0, (1) ∂l t→+0 t если он существует. Введя систему координат, представим заданное скаляр- ное поле в виде функции f (x, y, z). Величину, задаваемую формулой (1), называют произ- водной функции f (x, y, z) по направлению l. Утверждение 1. Если функция f (x, y, z) в точке M0 дифференцируема, то она в этой точке имеет производ- ную по любому направлению l и эта производная нахо- дится по формуле
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »