Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

4 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
§ 1. Скалярные и векторные поля.
Производная по направлению и
градиент скалярного поля
Определение 1. Говорят, что в области G задано ска-
лярное (или векторное) поле, если каждой точке M ∈ G
поставлено в соответствие некоторое число F (M) (или век-
тор a(M)).
Поле температуры внутри некоторого нагретого тела
— это скалярное поле. Поле гравитационное — векторное
поле.
Если дано некоторое скалярное или векторное поле в
области G ⊂ R
3
, то, введя систему координат, можно
представить скалярное поле в виде некоторой функции
F (x, y, z), а векторное поле — в виде вектор-функции a =
= (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).
Пусть в области G ⊂ R
3
задано скалярное поле f(M ).
Проведем луч через точку M
0
∈ G в направлении век-
тора l, |l| = 1.
Определение 2. Производной скалярного поля f в
точке M
0
по направлению l называется предел
∂f
∂l
(M
0
) = lim
t→+0
f(M) − f(M
0
)
t
,
−−−−
→
M
0
M = tl, t > 0, (1)
если он существует.
Введя систему координат, представим заданное скаляр-
ное поле в виде функции f (x, y, z).
Величину, задаваемую формулой (1), называют произ-
водной функции f(x, y, z) по направлению l.
Утверждение 1. Если функция f(x, y, z) в точке M
0
дифференцируема, то она в этой точке имеет производ-
ную по любому направлению l и эта производная нахо-
дится по формуле
4       Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа


    § 1. Скалярные и векторные поля.
      Производная по направлению и
         градиент скалярного поля
    Определение 1. Говорят, что в области G задано ска-
лярное (или векторное) поле, если каждой точке M ∈ G
поставлено в соответствие некоторое число F (M ) (или век-
тор a(M )).
    Поле температуры внутри некоторого нагретого тела
— это скалярное поле. Поле гравитационное — векторное
поле.
    Если дано некоторое скалярное или векторное поле в
области G ⊂ R3 , то, введя систему координат, можно
представить скалярное поле в виде некоторой функции
F (x, y, z), а векторное поле — в виде вектор-функции a =
= (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)).
    Пусть в области G ⊂ R3 задано скалярное поле f (M ).
    Проведем луч через точку M0 ∈ G в направлении век-
тора l, |l| = 1.
    Определение 2. Производной скалярного поля f в
точке M0 по направлению l называется предел
  ∂f              f (M ) − f (M0 )   −−−−
                                        →
      (M0 ) = lim                  , M0 M = tl, t > 0, (1)
   ∂l        t→+0        t
если он существует.
    Введя систему координат, представим заданное скаляр-
ное поле в виде функции f (x, y, z).
    Величину, задаваемую формулой (1), называют произ-
водной функции f (x, y, z) по направлению l.
    Утверждение 1. Если функция f (x, y, z) в точке M0
дифференцируема, то она в этой точке имеет производ-
ную по любому направлению l и эта производная нахо-
дится по формуле

Страницы