Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
ность уровня в точке M
0
. Уравнение касательной плоско-
сти в точке M
0
к этой поверхности имеет вид
∂f
∂x
(M
0
)(x −x
0
)+
∂f
∂y
(M
0
)(y −y
0
)+
∂f
∂z
(M
0
)(z −z
0
) = 0. (5)
Из этого равенства следует, что если |grad f| в точке не
равен нулю, то grad f направлен по нормали к поверхности
уровня, проходящей через эту точку.
Все изложенное переносится на случай плоского скаляр-
ного поля. Соответственно в формуле (2) будет два слагае-
мых, в уравнении (5) — тоже. Это — уравнение касатель-
ной к линии уровня в точке M
0
.
Задача 1. Для функции Φ =
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
найти произ-
водную по направлению внутренне й нормали к цилиндри-
ческой поверхности x
2
+ z
2
= a
2
+ c
2
в точке M
0
(a, b, c).
Р е ш е н и е. Пусть f(x, y, z) = x
2
+ z
2
. Данная в усло-
вии поверхность — это поверхность уровня для f , проходя-
щая через точку M
0
. Имеем
∇f(M
0
) = (2a, 0, 2c).
Функция f в точке M
0
растет быстрее всего по направле-
нию grad f, значит, по направлению нормали к заданной
поверхности. Исходя из вида функции f , заключаем, что
это — направление внешней нормали. Следовательно, еди-
ничный вектор внутренней нормали в точке M
0
будет
l =
−2a
√
4a
2
+ 4c
2
, 0,
−2c
√
4a
2
+ 4c
2
=
−a
√
a
2
+ c
2
, 0,
−c
√
a
2
+ c
2
.
Имеем ∇Φ =
2x
a
2
,
2y
b
2
,
2z
c
2
. По формуле (4) получаем
∂Φ
∂l
(M
0
) = −
a
√
a
2
+ c
2
·
2a
a
2
−
c
√
a
2
+ c
2
·
2c
c
2
= −
4
√
a
2
+ c
2
.
О т в е т. −
4
√
a
2
+ c
2
.
Задача 2. Пусть a — постоянный вектор, |a| 6= 0, r —
6         Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

ность уровня в точке M0 . Уравнение касательной плоско-
сти в точке M0 к этой поверхности имеет вид
 ∂f                  ∂f                  ∂f
    (M0 )(x − x0 ) +    (M0 )(y − y0 ) +    (M0 )(z − z0 ) = 0. (5)
 ∂x                  ∂y                  ∂z
   Из этого равенства следует, что если | grad f | в точке не
равен нулю, то grad f направлен по нормали к поверхности
уровня, проходящей через эту точку.
   Все изложенное переносится на случай плоского скаляр-
ного поля. Соответственно в формуле (2) будет два слагае-
мых, в уравнении (5) — тоже. Это — уравнение касатель-
ной к линии уровня в точке M0 .
                                         x2  y2  z2
     Задача 1. Для функции Φ =            2 + 2 + 2 найти произ-
                                         a   b   c
водную по направлению внутренней нормали к цилиндри-
ческой поверхности x2 + z 2 = a2 + c2 в точке M0 (a, b, c).
   Р е ш е н и е. Пусть f (x, y, z) = x2 + z 2 . Данная в усло-
вии поверхность — это поверхность уровня для f , проходя-
щая через точку M0 . Имеем
                       ∇f (M0 ) = (2a, 0, 2c).
Функция f в точке M0 растет быстрее всего по направле-
нию grad f , значит, по направлению нормали к заданной
поверхности. Исходя из вида функции f , заключаем, что
это — направление внешней нормали. Следовательно, еди-
ничный вектор внутренней нормали в точке M0 будет
                                                          
       −2a              −2c            −a             −c
l= √            , 0, √            = √         , 0, √           .
      4a2 + 4c2        4a2 + 4c2      a2 + c2        a2 + c2
                               
                    2x 2y 2z
   Имеем ∇Φ =        2 , 2 , 2 . По формуле (4) получаем
                       a      b      c
    ∂Φ               a    2a      c    2c        4
       (M0 ) = − √       · 2 −√       · 2 = −√        .
    ∂l             a +c a
                    2  2        a +c c
                                 2  2          a + c2
                                                2

                           4
     О т в е т.   −√             .
                       a2   + c2
     Задача 2. Пусть a — постоянный вектор, |a| 6= 0, r —

Страницы