Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса 9
ZZ
S
(a, ν ) ds
называется потоком векторного поля a через поверхность
S и обозначается
ZZ
S
a ds.
Имеем
ZZ
S
ads =
ZZ
S
(a, ν ) ds =
ZZ
S
(P cos α+Q cos β +R cos γ) ds, (8)
где cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы нормали
ν к поверхности S, задающей ее ориентацию.
Напомним, что система координат правая.
Пусть S — гладкая поверхность, имеющая явное пред-
ставление z = f (x, y), (x, y) ∈ D, D — область на плоско-
сти переменных x, y. Тогда поверхность S имеет векторное
представление r = r(x, y) = (x, y, f(x, y)), (x, y) ∈ D.
Отметим, что угол между вектором
n =
[r
x
, r
y
]
|[r
x
, r
y
]|
=
1
q
1 + f
2
x
+ f
2
y
(−f
x
, −f
y
, 1)
и вектором k = (0, 0, 1) острый.
Если вектор ν (см. (8)) совпадает с вектором n, то вы-
числение интеграла
ZZ
S
R cos γ ds
в силу того, что
cos γ =
1
q
1 + f
2
x
+ f
2
y
, ds =
q
1 + f
2
x
+ f
2
y
dx dy,
сводится к вычислению такого двойного интеграла по обла-
сти D:
 § 2. Дивергенция и поток. Формула Остроградского–Гаусса 9

                             ZZ
                                   (a, ν) ds
                              S
называется потоком векторного поля a через поверхность
S и обозначается      ZZ
                         a ds.
                                   S

ZZ Имеем ZZ         ZZ
   ads = (a, ν) ds = (P cos α+Q cos β +R cos γ) ds, (8)
 S        S                  S
где cos α, cos β, cos γ — направляющие косинусы нормали
ν к поверхности S, задающей ее ориентацию.
   Напомним, что система координат правая.
   Пусть S — гладкая поверхность, имеющая явное пред-
ставление z = f (x, y), (x, y) ∈ D, D — область на плоско-
сти переменных x, y. Тогда поверхность S имеет векторное
представление r = r(x, y) = (x, y, f (x, y)), (x, y) ∈ D.
   Отметим, что угол между вектором
                [rx , ry ]         1
         n=                 =q             (−fx , −fy , 1)
               |[rx , ry ]|    1 + f2 + f2
                                        x      y

и вектором k = (0, 0, 1) острый.
   Если вектор ν (см. (8)) совпадает с вектором n, то вы-
числение интеграла
                        ZZ
                            R cos γ ds
                             S
в силу того, что
                   1                           q
     cos γ = q                     ,   ds =     1 + fx2 + fy2 dx dy,
              1+   fx2   +   fy2
сводится к вычислению такого двойного интеграла по обла-
сти D:

Страницы