Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

12 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
x = 0, y = 0, z = 0, S
0
: x + y + z = 1 (см. рис. 3).
Р е ш е н и е. Обозначим грани тетраэдра:
S
1
: x = 0, S
2
: y = 0, S
3
: z = 0;
n
1
= (−1, 0, 0), n
2
= (0, −1, 0), n
3
= (0, 0, −1)
— единичные векторы внешних нормалей к S
i
, i = 1, 2, 3;
n
0
— единичный вектор внешней нормали к S
0
.
По формуле Остроградского–Гаусса имеем
ZZZ
V
z dx dy dz =
ZZ
S
0
(a, n
0
) ds +
3
X
i=1
ZZ
S
i
(a, n
i
) ds.
z = C
1
1
1 − C
1 − C
0
E(z)
x
y
x + y =
1
− C
Рис. 4
Так как (a, n
1
) = −xz = 0 на S
1
,
(a, n
2
) = 0, (a, n
3
) = 0, то
ZZ
S
i
(a, n
i
) ds = 0, i = 1, 2, 3.
Имеем
ZZ
S
0
(a, n
0
) ds =
=
ZZZ
V
z dx dy dz =
1
Z
0
z dz
ZZ
E(z)
dx dy,
где E(z) — сечение тетраэдра плоскостью z = C =
= const (см. рис. 4);
RR
E(z)
dx dy =
(1 − z)
2
2
,
ZZZ
V
z dx dy dz =
1
2
1
Z
0
z(1 − z)
2
dz =
1
2
1
Z
0
(z −2z
2
+ z
3
) dz =
=
1
2
1
2
−
2
3
+
1
4
=
1
24
.
О т в е т.
1
24
.
Утверждение 2. Пусть в области G ⊂ R
3
опреде-
лено векторное поле a(M) с непрерывно дифференцируе-
12            Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа


x = 0, y = 0, z = 0, S0 : x + y + z = 1 (см. рис. 3).
   Р е ш е н и е. Обозначим грани тетраэдра:
                      S1 : x = 0,            S2 : y = 0,          S3 : z = 0;
            n1 = (−1, 0, 0), n2 = (0, −1, 0), n3 = (0, 0, −1)
— единичные векторы внешних нормалей к Si , i = 1, 2, 3;
n0 — единичный вектор внешней нормали к S0 .
   По формуле Остроградского–Гаусса имеем
      ZZZ             ZZ             3 ZZ
                                     X
          z dx dy dz = (a, n0 ) ds +      (a, ni ) ds.
              V                         S0                         i=1 S
                                                                         i

      y                                    Так как (a, n1 ) = −xz = 0 на S1 ,
                                       (a, n2 ) = 0, (a, n3 ) = 0, то
  1                       z=C               ZZ
          x




1−C
            +




                                                (a, ni ) ds = 0, i = 1, 2, 3.
              y
                  =




                                               Si
                  1
                      −




                                                            ZZ
           E(z)
                       C




                         1                    Имеем              (a, n0 ) ds =
      0               1−C x                                 S0
  ZZZ Рис. 4     Z1    ZZ
=    z dx dy dz = z dz    dx dy,
      V                           0          E(z)
где E(z) — сечение тетраэдра плоскостью z = C =
                      RR         (1 − z)2
= const (см. рис. 4);    dx dy =    2
                                          ,
                                      E(z)
ZZZ                               Z1                               Z1
                       1                            21
          z dx dy dz =                 z(1 − z) dz =                    (z − 2z 2 + z 3 ) dz =
                       2                             2
  V                               0                                0
                                                       
                              1       1 2 1                      1
                          =            − +                  =       .
                              2       2 3 4                      24
                          1
      О т в е т.          24
                             .
   Утверждение 2. Пусть в области G ⊂ R3 опреде-
лено векторное поле a(M ) с непрерывно дифференцируе-

Страницы