Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

14 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
D, граница которой ∂D есть кусочно-гладкая поверх-
ность, из условия ∂D ⊂ G следует, что D ⊂ G.
Утверждение 3. Для того чтобы векторное поле a
с непрерывно дифференцируемыми компонентами было со-
леноидальным в области G ⊂ R
3
, необходимо, а в слу-
чае объемно односвязной области и достаточно, чтобы
div a = 0 в области G.
Задача 6. Найти поток векторного поля a =
= grad
−
e
4πr
, где e = const, r — расстояние точки M
0
от переменной точки M, через любую сферу, не проходя-
щую через M
0
и ориентированную внешней нормалью.
Р е ш е н и е. Имеем на основании (6) (см. задачу 3)
a =
e
4π
r
r
3
,
где r — радиус-вектор точки M, проведенный из M
0
. Ис-
пользуя формулу (7) (см. задачу 3), получаем
div a = 0.
M
0
~ν
S
M
0
~n
0
S
0
Рис. 5 Рис. 6
Пусть S — любая сфера, не проходящая через M
0
и не
содержащая эту точку внутри себя (см. рис. 5), ν — еди-
ничный вектор внешней нормали к S. Тогда
RR
S
a ds = 0,
так как поле соленоидально (по утверждению 3).
Пусть S
0
— любая сфера с центром в точке M
0
ради-
уса r
0
(см. рис. 6), n
0
=
r
r
— единичный вектор внешней
нормали к S
0
. Имеем
14      Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

    D, граница которой ∂D есть кусочно-гладкая поверх-
ность, из условия ∂D ⊂ G следует, что D ⊂ G.
    Утверждение 3. Для того чтобы векторное поле a
с непрерывно дифференцируемыми компонентами было со-
леноидальным в области G ⊂ R3 , необходимо, а в слу-
чае объемно односвязной области и достаточно, чтобы
div a = 0 в области G.
    Задача    6.
                Найти поток векторного поля a =
           e
        
= grad − 4πr , где e = const, r — расстояние точки M0
от переменной точки M , через любую сферу, не проходя-
щую через M0 и ориентированную внешней нормалью.
   Р е ш е н и е. Имеем на основании (6) (см. задачу 3)
                            e r
                       a=        ,
                           4π r3
где r — радиус-вектор точки M , проведенный из M0 . Ис-
пользуя формулу (7) (см. задачу 3), получаем
                             div a = 0.


                        ~ν                              ~n0

       S                                  S0
                                                M0
                         M0
               Рис. 5                          Рис. 6


   Пусть S — любая сфера, не проходящая через M0 и не
содержащая эту точку внутри себя (см. рис. 5),
                                           RR ν — еди-
ничный вектор внешней нормали к S. Тогда S a ds = 0,
так как поле соленоидально (по утверждению 3).
   Пусть S0 — любая сфера с центром в точке M0 ради-
                              r
уса r0 (см. рис. 6), n0 = r — единичный вектор внешней
нормали к S0 . Имеем

Страницы