Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

§5. Ротор векторного поля. Формула Стокса 23
как поле a потенциально, то (см. утверждение 4)
(y + z) dx + (x + z
2
) dy + (x + 2yz) dz = du,
u — потенциал поля a.
Имеем:
∂u
∂x
= y + z,
∂u
∂y
= x + z
2
,
∂u
∂z
= x + 2yz.
Такие частные производные имеет функция
u = xy + xz + yz
2
.
Тогда
R
C
AB
a dr = u(B) − u(A) =
R
2
2
.
Задача 10. Пусть в области G ⊂ R
3
заданы скалярное
поле ϕ и векторное a = (P, Q, R); ϕ, P , Q, R — непрерывно
дифференцируемые функции. Вектор b в точке M(x, y, z) ∈
∈ G имеет компоненты:
b
x
= R
∂ϕ
∂y
+ ϕ
∂R
∂y
− Q
∂ϕ
∂z
− ϕ
∂Q
∂z
,
b
y
= P
∂ϕ
∂z
+ ϕ
∂P
∂z
− R
∂ϕ
∂x
− ϕ
∂R
∂x
,
b
z
= Q
∂ϕ
∂x
+ ϕ
∂Q
∂x
− P
∂ϕ
∂y
− ϕ
∂P
∂y
.
Используя термины поля, найти выражение для b через
a и ϕ в векторной форме.
Р е ш е н и е. На основании (14) заключаем, что слага-
емые
ϕ
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
, ϕ
∂P
∂z
−
∂R
∂x
, ϕ
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
,
входящие в состав b
x
, b
y
, b
z
, являются компонентами век-
тора ϕ rot a. Остальные слагаемые
R
∂ϕ
∂y
− Q
∂ϕ
∂z
, P
∂ϕ
∂z
− R
∂ϕ
∂x
, Q
∂ϕ
∂x
− P
∂ϕ
∂y
являются компонентами векторного произведения
[grad ϕ, a] =
i j k
∂ϕ
∂x
∂ϕ
∂y
∂ϕ
∂z
P Q R
.
            § 5. Ротор векторного поля. Формула Стокса        23


как поле a потенциально, то (см. утверждение 4)
            (y + z) dx + (x + z 2 ) dy + (x + 2yz) dz = du,
u — потенциал поля a.
                  ∂u           ∂u              ∂u
   Имеем: ∂x = y + z, ∂y = x + z 2 , ∂z = x + 2yz.
   Такие частные производные имеет функция
                            u = xy + xz + yz 2 .
        R                                 R2
Тогда        a dr = u(B) − u(A) = 2 .
            CAB
   Задача 10. Пусть в области G ⊂ R3 заданы скалярное
поле ϕ и векторное a = (P, Q, R); ϕ, P , Q, R — непрерывно
дифференцируемые функции. Вектор b в точке M (x, y, z) ∈
∈ G имеет компоненты:
                     ∂ϕ      ∂R       ∂ϕ      ∂Q
              bx = R      +ϕ      −Q     −ϕ      ,
                     ∂y      ∂y       ∂z      ∂z
                     ∂ϕ      ∂P       ∂ϕ      ∂R
              by = P      +ϕ      −R     −ϕ      ,
                      ∂z     ∂z       ∂x      ∂x
                     ∂ϕ      ∂Q       ∂ϕ      ∂P
              bz = Q      +ϕ      −P     −ϕ      .
                     ∂x      ∂x       ∂y      ∂y
   Используя термины поля, найти выражение для b через
a и ϕ в векторной форме.
   Р е ш е н и е. На основании (14) заключаем, что слага-
емые
                                                  
          ∂R ∂Q             ∂P    ∂R         ∂Q ∂P
      ϕ       −        ,ϕ       −       ,ϕ       −       ,
          ∂y     ∂z         ∂z     ∂x        ∂x     ∂y
входящие в состав bx , by , bz , являются компонентами век-
тора ϕ rot a. Остальные слагаемые
            ∂ϕ      ∂ϕ      ∂ϕ      ∂ϕ     ∂ϕ      ∂ϕ
          R     −Q       ,P    −R      ,Q      −P
            ∂y       ∂z     ∂z      ∂x     ∂x      ∂y
являются компонентами векторного произведения
                                      i    j        k
                                     ∂ϕ   ∂ϕ        ∂ϕ
                       [grad ϕ, a] =                   .
                                     ∂x   ∂y        ∂z
                                     P     Q        R

Страницы