Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

28 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
Градиент одного вектора по другому
Пусть a = (a
x
, a
y
, a
z
) — векторное поле с дифференци-
руемыми компонентами.
Аналог ично производной скалярного поля по направле-
нию l = (cos α, cos β, cos γ), |l| = 1 (см. (1)) определяется
производная векторного поля a по направлению l, которая
обозначается
∂a
∂l
.
Справедлива формула, аналогичная (2):
∂a
∂l
=
∂a
∂x
cos α +
∂a
∂y
cos β +
∂a
∂z
cos γ,
которую, полагая
l∇ = cos α
∂
∂x
+ cos β
∂
∂y
+ cos γ
∂
∂z
,
можно записать так:
∂a
∂l
= (l∇)a.
Пусть b = (b
x
, b
y
, b
z
) — произвольный вектор.
Определение 12. Под вектором (b∇)a будем понимать
вектор
(b∇)a = b
x
∂a
∂x
+ b
y
∂a
∂y
+ b
z
∂a
∂z
, (22)
который называется градиентом вектора a по вектору b.
Если вектор b имеет то же направление, что единичный
вектор l = (cos α, cos β, cos γ), так что b = |b|l, то имеем
b
x
= |b|cos α, b
y
= |b|cos β, b
z
= |b|cos γ.
Поэтому
(b∇)a = |b|
cos α
∂a
∂x
+ cos β
∂a
∂y
+ cos γ
∂a
∂z
=
= |b|(l∇)a = |b|
∂a
∂l
.
На основании формулы (22) заключаем, что компоненты
градиента вектора a по вектору b вычисляются по форму-
28       Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

        Градиент одного вектора по другому
   Пусть a = (ax , ay , az ) — векторное поле с дифференци-
руемыми компонентами.
   Аналогично производной скалярного поля по направле-
нию l = (cos α, cos β, cos γ), |l| = 1 (см. (1)) определяется
производная векторного поля a по направлению l, которая
               ∂a
обозначается ∂l .
   Справедлива формула, аналогичная (2):
           ∂a     ∂a            ∂a          ∂a
              =        cos α +      cos β +     cos γ,
           ∂l     ∂x            ∂y          ∂z
которую, полагая
                           ∂          ∂          ∂
           l∇ = cos α         + cos β    + cos γ     ,
                          ∂x          ∂y         ∂z
можно записать так:
                            ∂a
                               = (l∇)a.
                            ∂l
   Пусть b = (bx , by , bz ) — произвольный вектор.
   Определение 12. Под вектором (b∇)a будем понимать
вектор
                             ∂a       ∂a      ∂a
               (b∇)a = bx        + by    + bz    ,         (22)
                             ∂x       ∂y      ∂z
который называется градиентом вектора a по вектору b.
   Если вектор b имеет то же направление, что единичный
вектор l = (cos α, cos β, cos γ), так что b = |b|l, то имеем
        bx = |b| cos α,   by = |b| cos β,   bz = |b| cos γ.
     Поэтому
                                                
                        ∂a         ∂a         ∂a
      (b∇)a = |b| cos α    + cos β    + cos γ      =
                        ∂x         ∂y         ∂z
                             ∂a
            = |b|(l∇)a = |b|    .
                             ∂l
   На основании формулы (22) заключаем, что компоненты
градиента вектора a по вектору b вычисляются по форму-

Страницы