Элементы векторного анализа. Коваленко Л.И. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

32 Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа
Применяется оператор Лапласа и к вектору. При этом
если a = (a
x
, a
y
, a
z
), то под ∆a, или ∇
2
a понимается вектор
∇
2
a = ∆a = (∆a
x
, ∆a
y
, ∆a
z
). (32)
Задача 15. Для векторного поля a = (a
x
, a
y
, a
z
) с два-
жды непрерывно дифференцируемыми компонентами вы-
числить: а) div rot a; б) rot rot a.
Р е ш е н и е. а) Пользуясь (14), имеем
div rot a =
∂
∂x
∂a
z
∂y
−
∂a
y
∂z
+
∂
∂y
∂a
x
∂z
−
∂a
z
∂x
+
+
∂
∂z
∂a
y
∂x
−
∂a
x
∂y
= 0
в силу равенства смешанных производных по x, y и y, x и
т.д.
То же самое можно получить, оперируя с ∇ как с век-
тором, пользуясь при этом круговой перестановкой сомно-
жителей в смешанном произведении:
div rot a = (∇, [∇, a]) = ([∇, ∇], a) = 0. (33)
б) Пользуясь правилом (25) вычисления двойного век-
торного произведения и (32), получаем
rot rot a = [∇, [∇, a]] = ∇(∇, a) − (∇, ∇)a =
= grad div a − ∆a. (34)
Как следует из равенства (33) (по утверждению 3), если
a — векторное поле с дважды непрерывно дифференциру-
емыми компонентами в объемно односвязной области, то
поле rot a в этой области соленоидально.
На основании равенства (34) заключаем, что ∆a не за-
висит от системы координат, поскольку rot rot a и grad div a
от нее не зависят.
Задача 16. Вычислить rot rot rot
i + j + k
r
, где r =
=
p
x
2
+ y
2
+ z
2
, i, j, k — единичные векторы, направлен-
ные по осям координат.
32       Л.И. Коваленко. Элементы векторного анализа

   Применяется оператор Лапласа и к вектору. При этом
если a = (ax , ay , az ), то под ∆a, или ∇2 a понимается вектор
                ∇2 a = ∆a = (∆ax , ∆ay , ∆az ).           (32)
    Задача 15. Для векторного поля a = (ax , ay , az ) с два-
жды непрерывно дифференцируемыми компонентами вы-
числить: а) div rot a; б) rot rot a.
    Р е ш е н и е. а) Пользуясь (14), имеем
                                            
             ∂ ∂az      ∂ay        ∂ ∂ax ∂az
div rot a =          −         +          −      +
            ∂x ∂y       ∂z        ∂y ∂z     ∂x
                                                      
                                         ∂ ∂ay     ∂ax
                                       +        −         =0
                                         ∂z ∂x     ∂y
в силу равенства смешанных производных по x, y и y, x и
т.д.
    То же самое можно получить, оперируя с ∇ как с век-
тором, пользуясь при этом круговой перестановкой сомно-
жителей в смешанном произведении:
           div rot a = (∇, [∇, a]) = ([∇, ∇], a) = 0.     (33)
   б) Пользуясь правилом (25) вычисления двойного век-
торного произведения и (32), получаем
        rot rot a = [∇, [∇, a]] = ∇(∇, a) − (∇, ∇)a =
                 = grad div a − ∆a.                       (34)
   Как следует из равенства (33) (по утверждению 3), если
a — векторное поле с дважды непрерывно дифференциру-
емыми компонентами в объемно односвязной области, то
поле rot a в этой области соленоидально.
   На основании равенства (34) заключаем, что ∆a не за-
висит от системы координат, поскольку rot rot a и grad div a
от нее не зависят.
                                         i+j+k
   Задача 16. Вычислить rot rot rot        r
                                                , где r =
  p
= x2 + y 2 + z 2 , i, j, k — единичные векторы, направлен-
ные по осям координат.

Страницы