ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
§ 2. Экзаменационная работа 1996/1997 уч. г. 49
Ответы к варианту 74
1. а)
x
4
4
+ 2x −
1
4
arctg x −ln(x
2
+ 1) −
x
3
12
+
x
4
+ C;
б) 16
1 + sin
2
x
1
4
−
16
5
(1 + sin
2
x)
5
4
+
4
9
(1 + sin
2
x)
9
4
+ C.
2. e
7
; ln(1+ 3 tg x) = 3x −
9
2
x
2
+ 10x
3
+ o(x
3
);
1
3 −x
2
=
1
3
+
x
2
9
+
+ o(x
3
).
3. Область определения x > −1.
Асимптота y = x при x → +∞.
y
0
=
2
√
1 −x
2
+ x
√
1 −x
2
=
5
4
5
− x
2
(2
√
1 −x
2
− x)
√
1 −x
2
, |x| < 1,
2
√
x
2
− 1 −x
√
x
2
− 1
=
3
x
2
−
4
3
(2
√
x
2
− 1 + x)
√
x
2
− 1
, x > 1.
y
00
=
1
(1 −x
2
)
3/2
, |x| < 1,
1
(x
2
− 1)
3/2
, x > 1.
Касательные в точках A и C вертикальны.
График на рис. 19.
x
y
0
A
B
C
y
=x
Рис. 19
A(−1; −2), x = −1 — точка
краевого максимума y(x);
B
−
2
√
5
; −
√
5
,
x = −
2
√
5
— точка минимума y;
C(1; 2), x = 1 — точка max y(x).
4. y = 4
x −
1
3
+
n
X
k=1
(−1)
k
3
2k
4
(2k + 1)!
+
1
(2k − 1)!
×
§ 2. Экзаменационная работа 1996/1997 уч. г. 49
Ответы к варианту 74
4
x3
x 1 x
1. а) + 2x − arctg x − ln(x2 + 1) − + + C;
4 4 12 4
41 16 5 4 9
2
б) 16 1 + sin x − (1 + sin x) 4 + (1 + sin2 x) 4 + C.
2
5 9
9 2 1 1 x2
2. e ; ln(1 + 3 tg x) = 3x − x + 10x + o(x3 );
7 3
2
= + +
2 3−x 3 9
3
+ o(x ).
3. Область определения x > −1.
Асимптота y = x при x → +∞.
√
5 45 − x2
2 1 − x2 + x
√ = √ √ , |x| < 1,
2 (2 1 − x2 − x) 1 − x2
√ 1−x
y0 =
2 x2 − 1 − x 3 x2 − 43
√ 2 = √ √ , x > 1.
x −1 (2 x2 − 1 + x) x2 − 1
1
2 )3/2
, |x| < 1,
(1 − x
y 00 = 1
, x > 1.
(x2 − 1)3/2
Касательные в точках A и C вертикальны.
График на рис. 19.
y
C
A(−1; −2), x = −1 — точка
краевого максимума y(x);
√
2
0 x B −√ ; − 5 ,
5
2
x = − √ — точка минимума y;
x
y=
5
C(1; 2), x = 1 — точка max y(x).
A
B
Рис. 19
n
1 X
k 2k 4 1
4. y = 4 x− + (−1) 3 + ×
3 (2k + 1)! (2k − 1)!
k=1
