Основы инженерных исследований в экологии. Козачек А.В. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2.2.5. Доверительные пределы
Любая статистическая экспериментальная характеристика является приближенной. Поэтому она может иметь какой-то
определенный смысл лишь в том случае, когда указываются границы возможной погрешности оценки, или, иначе говоря,
указывается интервал, о котором с известной вероятностью можно утверждать, что он покрывает оцениваемое нами, вообще
говоря, постоянное значение параметра.
Если для оценки некоторого неизвестного параметра
θ
мы определим вместо одного какого-то значения два значения
А и В таким образом, что здесь имеется вероятность (1 – α) того, что
А <
θ
< В, (2.109)
то А и В будут называться 100(1 – α) %-ными доверительными пределами. Так как вероятность того, что этот интервал не
включает в себя
θ , составляет α (в долях), то при обратном утверждении (формула (2.109)) мы рискуем ошибиться на 100α
%. Следует отметить, что мы не утверждаем, что
θ
имеет вероятность (1 – α) для попадания в область между данными
пределами А и В. Значение
θ есть просто неизвестная постоянная, и поэтому мы не можем относительно нее сделать такого
рода предположения.
Предположим, например, что необходимо по данным выборки оценить характеристику
X
истинной средней
арифметической нормальной генеральной совокупности экспериментальных данных, среднее квадратичное отклонение
которой считается неизвестным.
В этом случае некоторая величина
x (средняя арифметическая данной выборки) подчинена нормальному закону с
центром
X
и дисперсией
2
0
σ
. Следовательно, величина критерия Стьюдента t по формуле (2.106) есть нормированное
отклонение нормально распределенной случайной величины
x от истинной средней арифметической всей генеральной
совокупности экспериментальных данных.
Пусть
α
t есть значение критерия Стьюдента при некотором уровне значимости α. Тогда можно записать:
α−=
+<
σ
−
<−
αα
1t
nXx
tp , (2.110)
или
α−=
σ
+<<
σ
−
αα
1
n
t
xX
n
t
xp
. (2.111)
Иначе говоря, интервал между
σ
−
α
n
t
x
и
σ
+
α
n
t
x
есть
100 (1 – α) %-ный доверительный интервал для неизвестного среднего
x , если дисперсия
2
σ известна.
Рассмотренный доверительный интервал (формула (2.111)) дает два значения. Иногда приходится решать задачи
определения вероятности
(1 – α) для значений, которые только больше или только меньше, чем
X
. Такие интервалы называются односторонними
доверительными интервалами.
Предположим, что выбирается значение
α2
t таким образом, что
(
)
α
>
2
ttp . Тогда вследствие симметрии нормального
распределения будем иметь
(
)
α−
=
<
α
1
2
ttp (2.112)
и
(
)
α−
=
−
>
α
1
2
ttp . (2.113)
Преобразуя формулы (2.112) и (2.113) с учетом формул (2.106), (2.110), (2.111), получим:
α−=
<
σ
−
α
1
2
X
n
t
xp (2.114)
и
α−=
>
σ
+
α
1
2
X
n
t
xp . (2.115)
Таким образом, интервалы со значениями больше, чем
σ
−
α
n
t
x
2
, и меньше, чем
σ
+
α
n
t
x
2
, являются искомыми
односторонними 100
×
× (1 – α) %-ными доверительными интервалами для неизвестной средней
X
.

Страницы